辽宁工业大学高数习题课2.ppt

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1、第二章导数与微分习题课一、导数与微分的基本概念1．导数定义:2．导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。3.在处可导的充分必要条件：在处可导且。与都存在，二、极限、连续、可导与可微的关系4.在处的可微定义：三、求导法则1．四则运算求导法则2．反函数求导法则（1）（2）（3）函数在对应的内也可导，且或。设在区间内单调、可导且，则其反3．复合函数求导法则4．隐函数求导法则求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。5．参数方程求导参数方程确定可导函数，则设及都是可导函数，则复合函数也是

2、可导函数且。由方程确定了，方程两端对求导，在四、高阶导数定义及求导若函数的导函数仍然是可导函数，则将的导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。记。五、典型例题分析计算分段函数分界点处的导数，要根据定义看是否有解：左导数和右导数，并且还要看左右导数是否相等。【例1】设，问是否存在？【例2】设，求及。及求导法则求出，故求应选用“先求，后求因而应用导数定义求。解：当时，当时，和处函数值”的方法。而是分段函数的分段点，分析当时，是可导函数，且可利用求导公式【例3】设，已知在处可导，试确定的值。为未知量的

3、方程。由已知条件在分段点处可导，得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:在处连续，得第二个方程。解此联立方程组，可求出。分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以解：因为在处可导，所以在处连续；即【例4】已知，求。解：当时，；当时，；当时，综上，所以【例5】设，求。解：解：【例6】设，求。解：【例7】求星形线在处的导数。故解：方程两边对求导得【例8】设是由方程所确定，求。将代入上方程，得（1）将代入原方程，得（2）将（2）代入（1）中得。【例9】求函数的微分。解：所以分析因为含有乘积与幂指函数，故应用对数求导法。解：

4、应用对数求导法。函数两边取对数得所以方程两边对求导得【例10】设，求。【例11】设，求。方程两边对求导得分析是由三个或三个以上的有限个函数的乘、除、开方、乘方形成的，应用对数求导法。解：函数两边取对数得方程所以【例12】设曲线方程,求此曲线上纵坐标处的切线方程.所以切点坐标为则所求切线方程为解：先求切点坐标.将代入曲线方程得将代入上式,得再求曲线在切点处的切线斜率.方程两端对求导，得【例13】已知,设存在且不为零,求解：因为所以【14】求的阶导数.解：…