高数二期复习C解.doc

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1、06-07二期复习C解5／5二期复习C解一、填空（每空2分，共20分）1．函数z=arcsin+ln的定义域是4

2、立．故必有　×．由得，，即，从而√．6．已知收敛，则=1．（√）7．已知=π，其中D：x2+y2£a2，则a=．（√）二、计算及证明（共80分）1．（7'）判断级数的敛散性．解　显然级数是正项级数．06-07二期复习C解5／5∵<，且因==<1，故级数收敛，∴收敛．2．（7'）求幂级数x2n的和函数，并求的和．解　∵

3、

4、=

5、x2

6、=0，　∴R=+¥∵s(x)=x2n=(x2n+1)'=[x(x2)n]'=(x)'=(2x2+1)，

7、x

8、<+¥∴=s()=2．3．（7'）将f(x)=ln(x2－4x+3)展成x的幂级数．解f(x)=ln(x2－4x+3)=l

9、n[(1－x)(3－x)]=ln(1－x)+ln(3－x)=ln(1－x)+ln3+ln(1－)∵ln(1－x)=－，(－1£x<1)，ln(1－)=－，(－3£x<3)∴f(x)=ln(x2－4x+3)=ln3－+)，(－1£x<1)4．（7'）已知w=f(x2y,)，f有二阶连续偏导数，求：，．解　=2xyf1'－·f'2=2yf1'+4x2y2f11"－·f12"+·f'2－·f21"+·f22"=2yf1'+4x2y2f11"－·f12"+·f'2+·f22"5．（8'）计算I=+．解　积分区域如图，交换积分次序得　　　　I===－=－=－06-0

10、7二期复习C解5／5=－[(ysin)－=－[－1+(cos)]=(π+2)6．（12'）已知I=，Ω由x2+y2+(z－2R)2=4R2的内部与曲面x2+y2+z2=4R2的外部所围部分．（1）把I化为柱面坐标的三次积分；（2）把I化为球面坐标的三次积分；（3）求Ω的体积．解（1）将两已知球面化为柱面坐标方程后，求交线方程　=>　于是I=（2）将两已知球面化为球面坐标方程后，交线处与z轴的夹角为　=>　于是I=；（3）令f(x,y,z)=1，则VΩ==2π．因为积分区域内有奇点,故必须先用积分曲线代入化简去掉奇点后才能用green公式.7．（7'）求，L

11、：，方向为正向．解原式===0．8．（8'）计算对坐标的曲面积分I=，其中Σ是上半球面z=，取上侧．解记Σ1：z=0，取下侧．则I=－-=+06-07二期复习C解5／50―0―2+a2·πa2=－π·+πa2=．9．（10'）设f(x)为可微分函数，且满足f(x)=ex+求：f(x)．解　对所给方程变形得f(x)=ex+－x两边关于x求导得f'(x)=ex+xf(x)－－xf(x)=ex－再求导得f"(x)=ex－f(x)即f"(x)+f(x)=ex这是二阶常系数线性微分方程，设y=f(x)，其对应齐次方程的特征方程及特征根为r2+1=0，r=±i齐次的通

12、解为Y=C1cosx+C2sinx因其自由项为ex，m=0，α=1，且α=1不是特征单根，故设其特解为y*=Aex代入方程得　　　　　　　　　　　　　　　A+A=1即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A=于是其特解为　　　　　　　　　　　　　　y*=ex故　　　　　　　　　　　　　　　y=Y+y*=C1cosx+C2sinx+ex注意到f(0)=1，f'(0)=1，得C1=C2=从而所求函数为f(x)=(cosx+sinx+ex)．10．（7'）求曲线在点P(1,1,1)处的切线及法平面方程．解曲线的切向量为06-07二期复习C解5／5=在点P(1,1

13、,1)处的切向量为(1,1,1)=，故切线为，法平面为16(x－1)+9(y－1)－(z－1)=0．