高数第十二章.ppt

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1、正项级数任意项级数审敛法1.2.4.充要条件(基本定理1)5.比较法(三种形式)6.比值法(达朗贝尔)7.根值法(柯西)5.绝对收敛(条件收敛)4.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;上次课回顾？比较根值比值是是否否判断收发！是莱布尼茨判断否发散基本步骤：设正项级数收敛,能否推出收敛?［提示］由比较审敛法极限形式可知收敛.【注意】反之不成立.例如,收敛,发散.【思考与练习】［思考］若将上述正项级数改为一般项级数,还成立吗?收敛,发散.解：第三节一、函数项级数的概念幂级数二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结思考题一、函数项级数的一般概念1.【定义】【例如】2.【

2、收敛点与收敛域】【例如】函数项级数的部分和余项(x在收敛域上)【注意】函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是常数项级数的收敛问题.3.【和函数】和函数的定义域是函数项级数的收敛域.对于收敛域中每个x0，函数项级数都对应有一个唯一确定的和S(x0)解由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛.原级数发散.收敛;发散;二、幂级数及其收敛性1.【定义】2.【收敛性】一般形式几何说明收敛区域发散区域发散区域推论【定义】正数R称为幂级数的收敛半径.【规定】【问题】如何求幂级数的收敛半径R?称为幂级数的收敛区间.【收敛域】(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.之一【说明】(或)1)当≠0时,2

3、)当＝0时,3)当＝+∞时,实质是用比值法求.证明由比值审敛法,定理证毕.【例2】求下列幂级数的收敛域:【解】该级数收敛该级数发散发散收敛故收敛域为(0,1].做替换如缺项，此时不能套用定理，可考虑直接用比值法或根值法求收敛半径注：解缺少偶次幂的项级数收敛,级数发散,发散,发散,收敛域注意形式！缺少奇次幂的项求幂级数的收敛域的基本步骤：三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法(其中(2)乘法(其中(3)除法2.和函数的分析运算性质:(收敛半径不变)(R不变)解两边积分得幂级数的和函数在x=0处连续.练习的和函数【解】易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散

4、,解收敛区间(-1,1),解收敛域为记则练习求和函数并求的和故故【常用已知和函数的幂级数】【注】记住各收敛域四、小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法.2.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续.3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积分.【思考题】幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？【思考题解答】不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是作业