高数中的重要定理与公式及其证明(三).docx

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1、在这里,没有考不上的研究生。高数中的重要定理与公式及其证明(三)考研数学中最让考生头疼的当属证明题,而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度,一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试,很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂,硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力,最后还弄得自己一头雾水。因此,在这方面可以有所取舍。现将高数中需要掌握证明过程的公式定理总结如下。这些证明过程,或是直接的考点,或是蕴含了重要的解题思想方法,在复习的初期,先掌握这些证明过程是必要的。14)单调性定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在

2、(a,b)上可导。如果在(a,b)上有f'(x)0,那么函数f(x)在[a,b]上单调递增。如果在(a,b)上有f'(x)0,那么函数f(x)在[a,b]上单调递减。【点评】:这个定理利用导数与切线斜率的关系很容易理解,但实际证明中却不能用图形来解释,需要更严密的证明过程。证明:仅证明f'(x)0的情形,f'(x)0的情形类似。12(a,b),假定12则利用拉个朗日中值定理可得,x2,x2使得f(x1)f(x2)f'(x1x2)。由于f'0,因此f(x1)f(x2)0。由x1,x2的任意性,可知函数f(x)在[a,b]上单调递增。15)(极值第一充分

3、条件)o设函数f(x)在x0处连续,并在x0的某去心邻域U(x0,)内可导。ⅰ)若x(x0,x0)时,f'(x)0,而x(x0,x0)时,f'(x)0,则f(x)在x0处取得极大值跨考魔鬼集训营01在这里,没有考不上的研究生。ⅱ)若x(x0,x0)时,f'(x)0,而x(x0,x0)时,f'(x)0,则f(x)在x0处取得极小值;oⅲ)若xU(x0,)时,f'(x)符号保持不变,则f(x)在x0处没有极值;【点评】:单调性定理的推论,具体证明过程见教材。16)(极值第二充分条件)设函数f(x)在x0处存在二阶导数且f'(x0)0,那么ⅰ)若f''(x0)0,

4、则f(x)在x0处取得极小值;ⅱ)若f''(x0)0,则f(x)在x0处取得极大值。【点评】:这个定理是判断极值点最常用的方法,证明过程需要用到泰勒公式。证明:仅证明f''(x0)0,的情形,f''(x0)0,的情形类似。由于f(x)在x0处存在二阶导数,由带皮亚诺余项的泰勒公式得。在x0的某领域2内成立f(x)fx0f'x0xx0f''x0xx0oxx022由于f'(x0)0,因此x2f(x)fx0f''x0x0oxx0222fx0x2f''x0oxx0x02x2x02''oxx0由高阶无穷小的定义可知,当x0,又由于fx00,x0时,有x2x02f''x0oxx02因此在x0的某领域内成立

5、0。2xx022f''x02进一步,我们有fx0xx0oxx02x2x0fx0。跨考魔鬼集训营02在这里,没有考不上的研究生。也即,在x0的某领域内成立f(x)fx0。由极值点的定义可知f(x)在x0处取得极小值。跨考魔鬼集训营03在这里,没有考不上的研究生。16)洛必达法则设函数f(x),g(x)在xa的空心邻域内可导,g'(x)0,且limf'(x)'Axag(x)则有limf(x),。A,其中A可以是有限数,也可以是xag(x)【点评】:洛必达法则是计算极限时最常用的方法,但它的证明却很少有人关注。洛必达法则是拉格朗日中值定理的推论,证明过程比较简单,也是一个潜在的考点,需要引起注意。

6、具体证明过程见教材。跨考魔鬼集训营04

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