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1、第2章递归与分治策略学习要点:理解递归的概念。掌握设计有效算法的分治策略。通过下面的范例学习分治策略设计技巧。（1）二分搜索技术；（2）大整数乘法；（3）棋盘覆盖；（4）线性时间选择；将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。算法总体思想nT(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n/2)T(n)=对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。算法总体思想对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易
2、求出其解为止。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。算法总体思想将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T
3、(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)算法总体思想将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。nT(n)=n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4)分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。具体步骤：1、将源问题分解为有限的若干个子问题2、解决子问题3、复合过程
4、2.1递归的概念直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。下面来看几个实例。2.1递归的概念例1阶乘函数阶乘函数可递归地定义为：边界条件递归方程边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。
5、算法如下：intfactorial(intn){if(n==0)return1;returnn*factorial(n-1);}2.1递归的概念例2Fibonacci数列无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：边界条件递归方程第n个Fibonacci数可递归地计算如下：intfibonacci(intn){if(n<=1)return1;returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}2.1递归的概念例3Ackerman函数当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个
6、函数是双递归函数。Ackerman函数A(n，m)定义如下：2.1递归的概念例3Ackerman函数前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。2.1递归的概念例3Ackerman函数A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数：M=0时，A(n,0)=n+2M=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*nM=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(
7、n,2)=2^n。M=3时，类似的可以推出M=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。2.1递归的概念例4排列问题设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。集合X中元素的全排列记为perm(X)。(ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下：当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素；当n>1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r
