第4章 数值积分和数值微分.ppt

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1、第4章数值积分与数值微分问题的提出：如何求积分牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：N-L公式失效的情形：数学分析中的处理方法：4.1数值积分概论（1）被积函数，诸如等等，找不到用初等函数表示的原函数；（2）当是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用;因此有必要研究积分的数值计算问题及数值积分问题.N-L公式失效的情形：（3）有原函数，但原函数很复杂，难以求解，如书P97的例子.问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？只要对平均高度提供一种算法，相应地便可获得一种数值求积方法.由积分中值定理知，在积分区间内

2、存在一点ξ，成立构造数值积分公式的基本思想（1）左矩形公式（3）用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式（2）右矩形公式（4）用两端点“高度”与的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式.左矩形公式：右矩形公式：中矩形公式：梯形公式：一般地，可以在区间上适当选取某些节点，然后用加权平均得到平均高度的近似值，这样权仅仅与节点的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式.而不依赖于被积函数式中称为求积节点；称为求积系数,亦称伴随节点的权.kA将这种思想一般化：用上面式子求积分近似值的特点：将积分求值问题转化为了计算函数值的问题，避开了

3、求原函数.这类数值积分方法通常称为机械求积。4.2牛顿-科特斯公式据代数插值法，对于被积函数可以构造一个插值多项式来近似代替它。对上式两边求积分得到而是一个代数多项式，它的定积分是容易计算的。即有可以根据这种想法来构造出几个近似求积公式。4.2.1科特斯系数由代数插值法知道，可以以a和b作为插值节点构造一个插值多项式来近似代替即有.对上式两边求积分得即梯形公式。把积分区间[a，b]二等分，得到三个分点a，和b。据代数插值法，可以以这三个分点作为插值节点，构造一个插值多项式来近似代替，即有对上式两边求积分得称为辛普森公式。把积分区间[a，b]n等分，得到n+1个分点，其分点记为，其

4、中。由代数插值法知道，可以以这n+1个分点作为插值节点，构造一个插值多项式来近似代替，即有对上式两边求积分得其中作变换，从而得到于是若记则有从而得到称为Newton---Cotes系数。表4-1n从１到６的Newton---Cotes系数n123456特别的，n为4的时候称为科特斯公式。设将积分区间划分为等分，选取等距节点构造出的插值型求积公式（2.1）称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数.步长按，引进变换则利用等距节点的插值公式，有（2.2）当时，这时的求积公式就是梯形公式当时，按(2.2)式，相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式（2.3）柯特斯系数为的牛顿-柯特斯

5、公式称为柯特斯公式，（2.4）这里其形式是插值型数值积分的含义。例用梯形求积公式、Simpson求积公式和Newton---Cotes求积公式(取n=4)计算定积分解②用Simpson求积公式③用Newton---Cotes求积公式①用梯形求积公式4.2.2求积公式的代数精确度定义4.1对一般求积近似公式，如果当为任意一个次精确成立，而当为n+1次代数多项式时不精确成立，则称该数不高于n次的代数多项式时积分近似公式积分近似公式具有n次代数精确度。一个事实：任何一个求积近似公式都可以写成这样的形式其中是不依赖于函数另一个事实：对某些被积函数来说，积分近似公式精确成立。例如，据线性插

6、值的误差估计式有对上式从a到b求积分得即显然，当为不超过一次代数多项式时，。所以即当为不超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。定理4.1梯形求积公式具有一次代数精确度。证①证当f(x)为任意一个不超过一次代数多项式时，梯形求积公式精确成立。②证当为二次代数多项式时，梯形求积公式不精确成立。=x2时有所以当=x2时由此推出，当为二次代数多项式时因此，据定义梯形求积公式具有一次代数精确度。因为当定理4.2Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度，当n为偶数时，代数精确度至少为n+1次。即根据n次插值的误差估计式有对上式两边从a到b求积分得到当为任意不超过n次代

7、数多项式时，。所以，这说明，Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度。①证Newton---Cotes求积公式至少具有n次代数精确度。证②证当n为偶数时，Newton---Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。为n+1次代数多项式，则可令，其中n为偶数故再据(4.14)有可以证明:当n为偶数时，有从而得知,当为n+1次多项式，且n为偶数时有这说明，当n为偶数时，Newton---Cotes求积公式的代数精确度至少为n+1次。设，从而有定理4.3Simps