第三章_数值积分与数值微分.ppt

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1、数值分析第三章数值积分与数值微分§1引言在工程问题和科学实验中,常常需要计算积分。例如:力学和电学中功和功率的计算,电流和电压的平均值和有效值的计算以及一些几何图形的面积、体积和弧长的计算等等。另外微分方程的求解也是以积分计算为基础的。一数值求积基本思想在高等数学中,曾用Newton-Leibniz公式(其中是的一个原函数)来计算定积分,虽然这一公式比较简单,但常常会遇到下面情况:的原函数不能用初等函数表示。如其原函数不能用初等函数表示。的结构复杂,求原函数困难。的表达式不知道,只给出了一张由试验提供的函数表。利用积分中值定理:即以底长b-a,高为的矩形的面积

2、恰等于所求曲边梯形的面积I.这样,只要对平均高度提供一种算法,便获得一种数值积分方法。如果用两端点的“高度”与取算术平均作为平均高度的近似值,这样导出积分近似公式:对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的,这就要求建立积分的近似计算方法。此外,积分的近似算法又为其它一些数值方法,例如微分方程数值解、积分方程数值解等,提供了必要的基础。问题是的具体位置一般是不知道的,因而难以准确算出的值。称为区间[a,b]上的平均高度。一般地,由定积分定义:积分为和式的极限的“高度”f(c)近似取代高度,则导出中矩形公式:这是熟知的梯形公式(如下图)而若改用区间中点下面通

3、过最简单的情形做进一步分析。如果把区间[a,b]N等份。节点:定积分的基本分析步骤是四步:分割、近似、求和、取极限。分割就是把总体(整块梯形面积)分成若干分量(小曲边梯形面积),近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表小曲边梯形的面积(这是用矩形面积近似曲边梯形的面积)。求和就是把分量加起来得到总近似值,最后取极限就得到积分的准确值。以上分析看出,前三步比较容易,最后一步的计算比较困难,但现在只是要求近似值,因而可以省掉求极限这一步,只要经过前三步就可求得积分近似值,这就是建立数值积分方法的基本步骤。即用小矩形面积近似曲边梯形面积。如下图示。这称为左矩形公式。

4、把每个小区间的近似值相加就得到新的积分公式:称为中矩形求积公式再把每个小区间的分量相加就得梯形求积公式:若在每个小区间中用梯形面积近似曲边梯形面积,由上述知,计算积分的问题归结为计算被积函数f(x)在[a,b]上某些点的值,这就使积分的计算变得很容易了。现在的问题是如何提高精确度。从求近似积分的三步看来,前两步分割与近似是提高求积公式精确度的途径。第三步求和无须专门讨论。先讨论不分割区间[a,b]时,哪一种近似得到的求积公式精确度更高。事实上,对于不分割区间而言,用零次多项式近似f(x),然后取积分而得到的矩形公式直观上看,它比左矩形公式(3)精确些,但总的说

5、来,上述矩形法和梯形法精度都较低,往往不能满足实际计算的要求,因此需要建立精确度更高的求积公式。分割主要是细分,从理论上讲,分得越细,精确度越高,但必然增加计算量,增大舍入误差。因此,怎样在一种合适的分割下,使用容易计算的分量去近似曲边梯形面积就成为提高求积公式精确度的主要问题。同样,用一次多项式近似f(x),取积分而得到梯形公式:而不依赖于被积函数f(x)的具体形式。我们的目的就是根据一定原则,使得求积一般公式(6)具有较高的精确度同时又计算简单。可以设想,用更精确的插值多项式p(x)近似f(x),然后以或许会提高近似积分的精确度,这就是我们建立求积公式的基

6、本思路。这样得到的公式一般可以写成:数值求积方法是近似方法,为要保证精确度,自然希望求积公式能够对“尽可能多”的被积函数f(x)都准确成立,在计算方法中,常用代数精度这个概念来描述它。定义1:若求积公式却不一定能准确成立,则称该求积公式的代数精度m。对于任意不高于m次的代数多项式都准确成立,二代数精度的概念上式右端=即f(x)=1时上面求积公式准确成立。例如:梯形求积公式的代数精度m=1,这是因为:当f(x)=1时,上式左端=上式右端=当f(x)=x时,上式左端=一般的,欲使求积公式具有m次代数精度。只要令它对于即要求右端=上式左端=综上即得此求积公式对f(x

7、)=1和f(x)=x的任一线性组合,即不高于1次的代数多项式都准确成立。即此求积公式代数精度至少为m=1。即f(x)=x时,上面求积公式也准确成立。当a≠b时,左端≠右端因此,由定义知梯形求积公式代数精度为m=1。同理可证:矩形求积公式也具有0次代数精度。如果事先选定求积节点,如,以区间[a,b]的等距节点依次为节点,这时取m=n,求解上述线性方程组(7)即可确定系数  从而使求积公式至少有m=n次代数精度。具体示例在下面一节中介绍。由插值余项定理,对于插值型的求积公式其余项为:设给定一组节点作f(x)的n次Lagrange插值公式为n次插值基函数,三插值型的

8、求积公式定理1:的求积公式至少有n次代

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