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1、圆的一般方程南昌外国语袁夏荣【引入】圆的标准方程：把它展开得：的方程．任何圆的方程都可以通过展开化成形如：①1011121314151617【问题1】形如①的方程的曲线是否都是圆？①1011121314151617【尝试1】判断下列方程是否为圆的方程？1.2.3.1011121314151617将①配方法，得：②（1）当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；②表示一个点（2）当时②不表示任何曲线．（3）当时【尝试2】试讨论方程①是圆的方程的条件.1011121314151617圆的一般方程的定义：当时，②表示以为圆心、以为半径的圆；此时①称作圆的一般方程．的方程为圆的一
2、般方程．即称形如：1011121314151617二.若方程表示的曲线是圆,求的取值范围。一.方程表示什么曲线？为什么？并求圆心坐标和半径1011121314151617【练习1】一.方程表示什么曲线？为什么？求圆心坐标和半径。1011121314151617解：由配方得而,b不同时为零，所以方程是表示以（-,0)为圆心为半径的圆.解：由配方得而,b不同时为零，所以方程是表示以（-,0)为圆心为半径的圆.二.若方程表示的曲线是圆,求a的取值范围，并求圆心坐标和半径。解：将方程配方得：由得：当时方程表示的是以为圆心，为半径的圆。1011121314151617圆的一般
3、方程的特点，与圆的标准方程的异同．【问题2】圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然．（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．圆的一般方程的特点：（1）和的系数相同，都不为0．（2）没有形如的二次项．1011121314151617(3)D2+E2-4F＞0解：设所求圆的方程为解得：D=－8，E=6,F=0由O,A,B在圆上，则有故所求圆的方程为：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握．把所求方程配方得:(x-4)2+(y+3)2=25即所求圆心坐标为（4，-3）
4、，半径r=5例1求过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标。另解：设圆心为（a,b）,半径为r则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2根据题意得(1－a)2+(1-b)2=r2(0－a)2+(0-b)2=r2解得：a=4,b=-3,r=5圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25即x2+y2-8x+6y=0(4－a)2+(2-b)2=r2【归纳小结】1.步骤：(1)依题意设出待定系数方程(2)列出关于待定系数的方程（组）（3）解方程（组）得出系数，写出所求方程2.方程形式的选用：给出圆上的点时，用一般方程；易求圆心和半
5、径时用标准方程。1011121314151617【练习2】1.方程表示的曲线是以（-2，3）为圆心，4为半径的圆，求D，E，F的值.2.求过点A（1，-1），B（1，4），C（4，-2）的圆的方程。（4，-6，-3）1011121314151617【例题2】已知一曲线与两个定点O（0，0）,A(3,0)距离之比为1:2.求此曲线的方程，并画出该曲线.解：设M（x，y）是曲线上的任意一点,则点M所属集合为：即：整理化简得：配方得：所以所求的曲线是以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.-1Cyxo1011121314151617例3求经过P(-2,4),Q(3,-1)两
6、点,且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韦达定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又∴D2-4F=36…(1)∵圆过P(-2,4),Q(3,-1)∴(-2)2+42+(-2)D+4E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)联立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0∴所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0【思考题】过点M（-6，0）作圆C：
7、的割线，交圆C于A，B两点.求线段AB的中点P的轨迹.解：圆的方程可化为(x-3)+(y-2)=422其圆心为C（3，2）半径为2设P（x，y）是轨迹上任意一点化简得：所以所求轨迹为圆1011121314151617••-6o3yxcAB•。。P在已知圆内的一段弧（不含端点）.【小结】1、圆的一般方程及其特点．2、用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程，求圆心坐标和半径．(也可以用公式求）3、用待定系数法求圆的方程．1011121314151617(1)x2,y2的系数为1(2)没有xy项(3)D2+E2-4F＞0【作业】模块作业44—45其中第8题难度较高（选做
