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1、10.2多元函数的偏导数10.2.1偏导数偏导数的定义则称为函数在点关于变量x的偏导数.设二元函数若极限存在，对于n元函数若极限等.记作:存在,则称为等.记作通常记作更方便.对变量的偏导数.在点例1：对变量x求导解：将y看作常数,在计算时,二元函数同理有例2:解：三元函数偏导数存在连续偏导数存在与连续:VeryImportant!例3：无极限，不连续！偏导数存在.连续偏导数存在例4：初等函数，连续.不存在！而方向导数设是单位向量,存在,若点沿的方向导数，则称为f在记作方向导数与偏导数间的关系设是的一组标准正交基,方向的方向导数就是偏导数.点沿这n个f在10.2.2高
2、阶偏导数定理：若在某点其两个二一般来说,高阶混合偏导数与求导顺序有关！什么情况下,混合偏导数与求导次序无关呢？对于n元函数阶混合偏导函数，都连续,证明:记(只对二元函数证明)不一定等于即则相等.则同理：令有，例10.3多元函数的微分10.3.1微分的概念一元函数微分的概念：多元函数的可微与微分若存在常向量使得(*)则称函数在点可微,称为微分.定理：在可微,(*)成立,则连续.若且特别地,在点的各偏导数都存记则在,证明：时,□10.3.2函数可微的充分条件定理证明：若函数f各偏导函数在某点都连续,则在该点可微.可微):(偏导连续□一元函数微分：多元函数微分：式中a称为
3、导数.称为梯度,式中由上面定理知,函数沿梯度方向的方向导数最大.例5:求:解:记作例6：切向量的方向导数.求f在(1,2)沿的解：在(1,2)切向量单位化梯度与微分的几何意义—表示平面.—表示平面,记作称为曲面在点的切平面！梯度与微分的几何意义例7：1)在(1,1)处切平面2)即切平面在例8研究该函数在原点是否存在偏导数,是否可微.解所以下面证明该函数在原点不可微.则f(x,y)在(0,0)的微分是若该函数在原点可微,根据微分定义，但是容易证明:事实上，因此根据微分定义推出该函数在原点不可微.例9考察该函数在原点是否可微，偏导数是否连续.1.证明函数在原点可微.计算
4、得到容易看出：在原点自变量的改变量是所以并且2.证明该函数的偏导数在原点不连续.没有极限.从而同样的方法可以证明：10.3.4二元函数的原函数问题设函数连续,问是否某个函数的微分？(全微分)若是,则称是的一个原函数.“必要条件”:若有连续的偏导数,且有原函数,则证明:二阶混合偏导连续时必相等例10求的原函数.解:从而有因为所以即数学名家介绍(二)泰勒(Taylor,Brook,1665.8.18-1731.12.29)英国数学家.生于埃德蒙顿，卒于伦敦.1709年获法学博士学位.1712年当选为皇家学会会员.他和哈雷、牛顿是亲密的朋友.在数学方面，他主要从事函数性质
5、的研究，于1715年出版了《增量方法及其逆》一书，书中发表了将函数展成级数的一般公式，这一级数后来被称为泰勒级数.他还研究了插值法的某些原理，并用这种计算方法研究弦振动问题、光程微分方程的确定问题等.泰勒在音乐和绘画方面也极有才能.另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年.作业P532,3(2)(5)(6)(7),4(4)(5)(7)P631(3)(5)2,3,5,6
