华南理工大学高等数学统考卷下08届.doc

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1、高等数学下册试卷2009.7.1姓名:学院与专业:学号:一、填空题[共24分]1、[4分]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要条件(填必要、充分或充要),又是它在该点有方向导数的充分条件(填必要、充分或充要)2、[4分]向量场的散度为.向量场的旋度为.3、[4分]]设有连续偏导数,则4、[4分]交换二次积分的积分次序5、[4分]设曲面为柱面介于平面与部分的外侧,则曲面积分0,6、设,则它有极小值二、[8分]设,求解:两边取微分,得从而,424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页一、[7分]设

2、长方形的长、宽、高满足,求体积最小的长方体。解:令则,从而再由即约束条件,可得,从而由问题的实际意义可知,当体积最小长方体的长、宽、高均为3。二、[7分]求球面含在圆柱面内部的那部分面积解:上半球面的部分为三、[7分]计算三重积分,其中.是由单位球面围成的闭区域解:由对称性从而四、[7分]计算曲面积分,其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧解:取上侧424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页则原式七[7分]计算曲线积分,其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。解:由于,从而只要路径不经过直线,

3、该曲线积分就与路径无关取路径,八、[7分]求微分方程的通解解:,,九、[7分]计算满足下述方程的可导函数,解:原方程两端求导得即,这是标准的一阶线性微分方程424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页原方程令得,代入通解得,从而八、[6分](非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设且,试根据的值判定级数的敛散性解:,从而当,即时,级数收敛;当,即时,该级数发散九、[6分](非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,试将函数展开成傅立叶级数解:,(奇函数在对

4、称区间上积分)从而十、[7分](非化工类做,即老师教了级数一章的同学才做)设,证明:满足微分方程,并求解:从而而且解初值问题,,通解为424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页,由初值条件:,十、[6分](化工类做,即不学级数一章的同学做)求解初值问题解:方程对应的齐次方程为,它的特征方程为,特征根为,从而对应通解为容易看出的一个特解为,因此原方程的通解为从而,由初值条件可得。因此十一、[6分](化工类做,即不学级数一章的同学做)设是曲线在点处的切向量,求函数在该点沿的方向导数解:方程组两端对求导

5、,得把代入得,解得,于是在点处的切向量为,单位切向量为所求方向导数为十二、[7](化工类做,即不学级数一章的同学做)给定曲面为常数,其中有连续偏导数,证明曲面的切平面通过一个定点424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页证:令,则从而曲面在点处的切平面为,其中为动点。显然时成立,故切平面均过。证毕424e29b53780a521f826093d9e9f2b2a.doc共6页第6页

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