华南理工大学高等数学统考卷下(2)13届.doc

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1、高等数学下册试卷2014．7．7姓名：学院与专业：学号：一、填空题[每小题4分，共20分]1.极限02.函数在点处可微分是它在该点有方向导数的充分条件3.曲面在点处的切平面方程是4.假设L为圆的右半部分，则5.向量场在点处的散度是二、（本题8分）函数，试研究在点的可微性解，，函数在点的全增量为，由于，由夹逼准则可得，从而，由定义可知该函数在点可微。共7页第7页三、（本题8分）设，其中具有连续偏导数,求解方程两边取微分整理得于是四、（本题8分）计算二重积分，其中解作图为位于第一象限的部分，由对称性五、（本题8分）计算，其中L为下列闭曲

2、线，沿逆时针方向：（1）点在L所围区域之外；（2）点在L所围区域之内。解在这里，进而在点以外成立且连续，从而（1）点在L所围区域之外，由格林公式，可得=0；（2）点在L所围区域之内，可以为中心做一个适当小的圆，使得这个小圆包含在L的内部，取逆时针方向，设。从而L与的负向构成了所围成的区域的正向边界，且可用格林公式，得=0；从而，对新的积分在共7页第7页所围区域再用格林公式，得（后面步骤也可用代入去计算的，繁些）六、（本题8分）求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变化。解抛物面壳的质量由于。，其中的投影区域用极坐标计算七、（本题8分）

3、计算曲面积分，式中是上半球面的下侧。（试卷印成区内侧，同义）解解法一由第二型曲面积分的对称性，得，所以解法二取曲面，取上侧，配合构成上半球体的表面的内侧。共7页第7页用高斯公式（用对称性再先二后一，用球坐标繁一些）八、（本题6分）设曲线积分与路径无关，其中的一阶导数连续，且。（1）求，（2）计算曲线积分。解（1）由曲线积分与路径无关，可得，即从而，即，由，可得（2）或。共7页第7页九、（本题6分）求微分方程的通解。解对应齐次方程的特征方程为，解得。对应齐次方程通解为。非齐次项与标准形式比较，得，从而不是对应齐次方程的特征根，故待定的

4、特解可设为，由于，代入原方程，得，所以，于是非齐次方程通解为。十、[化工类做]（本题6分）确定函数的极值点解解方程组，得驻点再有。在点处，有；在点处，有；在点处，有；在点处，有。从而得该函数的极大值点为，极小值点为。十一、[化工类做]（本题7分）证明函数在椭圆上任一点处沿椭圆法向的方向导数恒等于0。证设为椭圆上任一点，令，则在上任一点处的法向方向可为，单位化可得，而，从而点的梯度为共7页第7页，故函数在椭圆上任一点处沿椭圆法向的方向导数为十二、[化工类做]（本题7分）求初值问题的解解令，从而有分离变量，得，两边积分得，由，得。分离变

5、量，两边积分得，由，得或，从而，但，初始条件不满足，应舍去。，经检验初始条件均满足，故所求特解为。十、[非化工类做]（6分）判断级数的敛散性解因为，而，从而由比值判别法正项级数收敛，再由正项级数的比较判别法收敛。共7页第7页十一、[非化工类做]（7分）将函数展开成麦克劳林级数，并指出其成立区间。解由等比级数得，从而十二、[非化工类做]（7分）设函数是以为周期的周期函数，它在上的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并指出其成立范围。解，从而，因为在上连续，且，由狄利克雷收敛定理在上每点都成立。共7页第7页