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1、差商(均差)的概念算法与例子牛顿插值公式取x0,x1,x2,求二次函数P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)满足条件P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)插值条件引出关于a0,a1,a2方程解下三角方程组过程中引入符号a0=f(x0),a1=f[x1,x2],a2=f[x0,x1,x2]P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)定义5.3若已知函数f(x)在点x0,x1,···,xn处的值f(x0),f(x1),···,f(
2、xn).如果i≠j,则(j=0,1,…,n-1)一阶差商二阶差商(j=0,1,…,n-2)n阶差商差商的对称性由此可以看出，差商的值与节点x0,x1,···,xn的排列次序无关，即x-2-1013y-56-16-2-24例由函数表求各阶差商xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商-2-56-1-16400-214-131-20-7234312解按公式计算一阶差商、二阶差商、三阶差商如下MATLAB程序计算x=[-2-1013];y=[-56-16-2-24];f=y-56-16-2-24-56401403
3、-5640-13-71-5640-1322-5640-1320n=length(x);fork=2:nforj=n:-1:kf(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k));endfend牛顿插值公式f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x0,x]n次牛顿基本插值公式对于插值节点，有根据代数插值存在唯一性定理，n次牛顿插值公式恒等于n次拉格朗日插值公式，插值余项根据插值多项式的定义，Nn(x)是f(x)的一个n次插值多项式x-2-1013y-56-16-2-24f(x0)=-56
4、,f[x0,x1]=40,f[x0,x1,x2]=–13,f[x0,x1,x2,x3]=2,f[x0,x1,x2,x3,x4]=0N4(x)=–56+40(x+2)–13(x+2)(x+1)+2(x+2)(x+1)x例由函数表求Newton插值函数函数值的计算:N4(x)=–56+(x+2)[40–(x+1)[13+2x]]算法:记插值节点为x0,x1,···,xn,f(x)的各阶差商为f0,f1,f2,···,fns←fn计算s←fk+s*(x-xk)(k=n-1,n-2,···,0)N(x)=s
5、x=-5:5;y=1./(1+x.^2);f=y;t=-5:0.05:5;y0=1./(1+t.^2);n=length(x);m=length(t);fork=2:nforj=n:-1:kf(j)=(f(j)-f(j-1))/(x(j)-x(j+1-k));endendfori=1:mt0=t(i);s=f(n);fork=n:-1:2s=f(k-1)+s*(t0-x(k-1));endy1(i)=s;Endplot(x,y,'ko',t,y1,'r',t,y0,'k')
