2020_2021学年新教材高中数学5一元函数的导数及其应用5.3.2.3函数极值与最值的综合应用课时作业含解析新人教A版选择性必修第二册.doc

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1、高考课时作业(二十一)　函数极值与最值的综合应用[练基础]1．已知函数f(x)＝x＋xlnx，当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)．2．已知函数f(x)＝sinx－ln(1＋x)，f′(x)为f(x)的导数．证明：(1)f′(x)在区间存在唯一的极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点．3．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？[提能力]4．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(

2、1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；-5-/5高考(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求证：x1＋x2≥.[战疑难]5．已知函数f(x)＝ex＋＋2x－a(a∈R)有两个不同的零点x1，x2.(1)某某数a的取值X围；(2)证明：x1＋x2>0.课时作业(二十一)　函数极值与最值的综合应用1．证明：令g(x)＝f(x)－3(x－1)即g(x)＝xlnx－2x＋3(x>0)则g′(x)＝lnx－1由g′(x)>0得，x>e；由g′(x)<0得0

3、0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，-5-/5高考所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0.于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，所以f(x)>3(x－1)．2．证明：(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx－，g′(x)＝－sinx＋.当x∈时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，g′<0，可得g′(x)在有唯一零点，设为α.则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0.所以g(x)在(－1，α)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f′(x)在存在唯一

4、极大值点．(2)f(x)的定义域为(－1，＋∞)．①当x∈(－1,0]时，由(1)知f′(x)在(－1,0)上单调递增，而f′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,0)上单调递减．又f(0)＝0，从而x＝0是f(x)在(－1,0]上的唯一零点．②当x∈(0，]时，由(1)知f′(x)在(0，α)上单调递增，在(α，)上单调递减，而f′(0)＝0，f′()<0，所以存在β∈(α，)，使得f′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f′(x)>0；当x∈(β，)时，f′(x)<0.故f(x)在(0，β)上单调递增，在

5、(β，)上单调递减．又f(0)＝0，f()＝1－ln(1＋)>0，所以当x∈(0，]时，f(x)>0.从而，f(x)在(0，]上没有零点．③当x∈(，π]时，f′(x)<0，所以f(x)在(，π)上单调递减．而f()>0，f(π)<0，所以f(x)在(，π]上有唯一零点．④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点．综上，f(x)有且仅有2个零点．3．解析：设轮船速度为x(x>0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝.所以Q＝x3.所以总费用y＝·＝x2＋.-

6、5-/5高考y′＝－，令y′＝0，得x＝20.所以当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增．所以当x＝20时，y取得最小值．所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小．4．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝lnx＋x，由f(1)＝1，所以切点为(1,1)，又因为f′(x)＝＋1，所以切线斜率k＝f′(1)＝2，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)证明：当a＝－2时，f(x)＝lnx＋x2＋x(x>0)．由f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，得ln

7、x1＋x＋x1＋lnx2＋x＋x2＋x1x2＝0，从而(x1＋x2)2＋(x1＋x2)＝x1x2－ln(x1x2)，令t＝x1x2(t>0)，令φ(t)＝t－lnt，得φ′(t)＝1－＝，易知φ(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)≥φ(1)＝1，所以(x1＋x2)2＋(x1＋x2)≥1，因为x1>0，x2>0，所以x1＋x2≥成立．5．解析：(1)因为f(x)＝ex＋＋2x－a，所以f′(x)＝ex－＋2＝＝，令f′(x)>0，得x>0，令f′(x)<0，得x<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

8、在(－∞，0)上单调递减，所以f(x)min＝f(0)＝4－a.要使函数f(x)有两个不同的零点，必须满足f(x)min<0，所以a>4.若a>4，注意到，f(a)