2020_2021学年新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.2第2课时夹角问题素养作业提技能含解析新人教A版选择性必修第一册.doc

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1、高考第一章　1.4　1.4.2　第2课时　请同学们认真完成练案[9]A组·素养自测一、选择题1．(多选题)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，则下列选项中，正确的是(　AB　)A．n1∥n2⇔α∥βB．n1⊥n2⇔α⊥βC．v∥n1⇔l∥αD．v⊥n1⇔l∥α[解析]对于A，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，A正确；对于B，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，B正确；对于C，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，C错误；对于D，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价

2、于直线平行于平面或直线在平面内，D错误．故选AB．2．若平面α的一个法向量为n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量是n2＝(－3,1,3)，则平面α与β所成的角等于(　D　)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]因为n1·n2＝(1,0,1)·(－3,1,3)＝0，所以α⊥β，即平面α与β所成的角等于90°．3．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为(　A　)A．B．－C．D．－-17-/17高考[解析]＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，而cos〈，〉＝＝＝，故直线AB和CD所成角的

3、余弦值为．4．已知正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为(　B　)A．30°B．45°C．60°D．90°[解析]　如图所示，建立空间直角坐标系．设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，∴＝(0,1,0)．取PD的中点E，则E，∴＝，易知是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，所以cos〈，〉＝，故平面PAB与平面PCD的夹角为45°．5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为(

4、　A　)-17-/17高考A．B．C．－D．－[解析]如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则M(1,0,0)，N(0,1,2)，O(1,2,1)，D1(0,0,2)，∴＝(－1,1,2)，＝(－1，－2,1)．则cos〈，〉＝＝＝．∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为，故选A．二、填空题6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为____．[解析]解法一：取AC、A1C1的中点M、M1，连接MM1、BM．过D作DN∥BM，则容

5、易证明DN⊥平面AA1C1C．连接AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．-17-/17高考在Rt△DAN中，sin∠DAN＝＝＝．解法二：取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，在正三角形ABC中，BM＝AB＝，∴A，B，D，∴＝，又平面AA1C1C的法向量为e＝(0,1,0)，设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则sinθ＝

6、cos〈，e〉

7、＝＝．解法三：设＝b，＝a，＝c，由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，又＝－＝c－b，平面AA1C1C的法向量＝(a＋b)．设直线AD

8、与平面AA1C1C成角为θ，则sinθ＝

9、cos〈，〉

10、＝，∵·＝(c－b)·(a＋b)-17-/17高考＝a·c－a·b＋b·c－

11、b

12、2＝－．

13、

14、2＝(c－b)2＝

15、c

16、2＋

17、b

18、2－2b·c＝2，∴

19、

20、＝，

21、

22、2＝(a＋b)2＝(

23、a

24、2＋

25、b

26、2＋2a·b)＝，∴

27、

28、＝，∴sinθ＝．7．在空间中，已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____．[解析]平面xOy的一个法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)，则即3x＝4y＝az，取z＝1，则x＝，y＝，∴m

29、＝．由题意得

30、cos〈n，m〉

31、＝＝．又因为a＞0，所以a＝．8．如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，则这个二面角的度数为__60°__．[解析]设〈，〉＝θ，∵CA⊥AB，AB⊥BD，∴·＝·＝0，〈，〉＝180°－θ，-17-/17高考∴

32、

33、2＝(＋＋)2＝

34、

35、2＋

36、

37、2＋

38、

39、2＋2

40、

41、

42、

43、cos(180°－θ)．∴(2)2＝62＋42＋8