简单几何体的表面积与体积.pptx

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1、简单几何体的表面积与体积本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的 。面积的和【思考】棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等?提示:是。棱柱、棱锥、棱台的表面积就是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小。常把多面体展开成平面图形,利用平面图形求多面体的表面积。2.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱:棱柱的底面面积为S,高为h,则 。棱锥:棱锥的底面面积为S,高为h,则_______。棱台:棱台的上、下底面面积分别为S′、S,高为h,则______________________。V=Sh【思考】棱柱、棱锥、棱台的体积之间有什么关系?提示:棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系可以理解为:【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)锥体。

2、的体积等于底面面积与高之积。(  )(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的。(  )(3)沿不同的棱将多面体展开,得到的展开图相同,表面积相等。(  )【解析】(1)×。锥体的体积等于底面积与高之积的 。(2)×。棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形。(3)×。由于剪开的棱不同,同一个几何体的表面展开图可能不相同。但是,不论怎么剪,同一个多面体表面展开图的面积是一样的。2.正方体的表面积为96,则正方体的体积为(  )A.48 B.64 C.16 D.96【解析】选B。设正方体的棱长为a,则6a2=96,所以a=4。所以其体积V=a3=43=64。3.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为 (  )A.22 B.20 C.10 D.11【解析】选A。所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22。4.若长。

3、方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm,则长方体的体积为(  )A.27cm3 B.60cm3 C.64cm3 D.125cm3【解析】选B。长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高,即为3×4×5=60(cm3)。类型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积【典例】1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是(  ) 2.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的表面积。【思维·引】分别求出各个面的面积,表面积等于各个面的面积之和。【解析】1.选A。设正三棱锥的侧棱长为b,则由条件知,b2+b2=a2,即b2= a2,所以S表= 2.如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,所以a2+52=152,b2+52=92所以a2=200,b2=56。所以a=10 ,b=2 ,因为该直四棱柱的底面是菱形,。

4、所以AB2= =64,所以AB=8。所以直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160。又因为四边形ABCD为菱形,所以S菱形= AC·BD= ×10 ×2 =20 ,所以S表=2S菱形+S侧=2×20 +160=40 +160。【内化·悟】怎样求多面体的表面积?提示:多面体的表面积就是各个面的面积之和,也可以先求出侧面展开图面积,再分别求上、下底面的面积,再求总的表面积。【类题·通】棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解。【习练·破】已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形,侧面是腰长为8的等腰梯形,则该四棱台的表面积为________。 【解析】如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,过B1作B1F⊥BC,垂足为F,在Rt△B1FB中,BF= ×(8-4)=2,B1B=8,故B1F=所以 ×(8+4)×。

5、2 =12 ,故四棱台的侧面积S侧=4×12 =48 ,所以S表=48 +4×4+8×8=80+48 。答案:80+48 类型二 棱柱、棱锥、棱台的体积【典例】如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比。【思维·引】先求出棱锥的体积,再求得剩余部分的体积,最后求得体积之比。【解析】方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc,又S△A′DD′= bc且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a。所以V三棱锥C-A′DD′= S△A′D′D·CD= abc。则剩余部分的几何体体积V剩=abc- abc= abc。故V棱锥C-A′DD′∶V剩= abc∶ abc=1∶5。方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面。

6、积为S,高为h,则它的体积为V=Sh。而棱锥C-A′DD′的底面面积为 S,高为h,因此棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′= × Sh= Sh。剩余部分的体积是Sh- Sh= Sh。所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 Sh∶ Sh=1∶5。【内化·悟】怎样求几何体的体积?提示:求几何体的体积,关键是弄清该几何体是柱体,锥体还是台体,再分别选择公式求解。【类题·通】常见的求几何体体积的方法(1)公式法:直接代入公式求解。(2)等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可。(3)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积。【习练·破】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,则剩余部分的体积为________。 【解析】 S△ABD·A1A= × a2·a= a3。故剩余部分的体积V=V。

7、正方体- =a3- = a3。答案: a3类型三 棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的综合应用角度1 等积变换法求体积【典例】如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为________。 【思维·引】把三棱锥A-DED1转换为三棱锥E-DD1A,底面为直角三角形DAD1,高为正方体的棱长。【解析】答案:【素养·探】等积转换法是求锥体体积的常用方法,特别是当题目中某些点是不固定的点时,常用等积转换固定一个面,再进行求值。在解题过程中主要考查直观想象和数学运算的核心素养。把本例改为:如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,求三棱锥D1-EDF的体积。【解析】角度2 等体积法求点到面的距离【典例】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求点A到平面A1BD的距离d。【思维。

8、·引】先求出三棱锥A-BDA1的体积,再求出三角形BDA1的面积,再根据等体积法求点到平面的距离。【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D= a,因为 所以 所以d= a。所以点A到平面A1BD的距离为 a。【类题·通】利用等体积法求点到面的距离,一般是先选择适当的顶点求出锥体的体积,再改变顶点,求题目给出平面的面积,再用等体积法求点到面的距离。【习练·破】已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为 (  )     A.6 B.12 C.24 D.48【解析】选D。正四棱锥的斜高h′= =4,S侧=4× ×6×4=48。8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式【思考】圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系?提示:圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系:S圆柱侧=2πrl S圆。

9、台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl。2.圆柱、圆锥、圆台的体积公式柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);锥体的体积公式V= Sh(S为底面面积,h为高);台体的体积公式V= (S′+ +S)h。【思考】圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?提示:柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系:V=Sh V= (S′+ +S)h V= Sh。3.球的表面积和体积公式设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍。球的体积V= πR3。【思考】如何理解、把握球的表面积、体积公式?提示:把握住球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球= πR3是计算球的表面积和体积的关键,半径与球心是确定球的条件。把握住公式,球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了。【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方。 (  。

10、)(2)长方体既有外接球又有内切球。 (  )(3)球面展开一定是平面的圆面。 (  )(4)圆台的高就是相应母线的长。 (  )【解析】(1)×。球的体积之比等于半径比的立方。(2)×。长方体只有外接球,没有内切球。(3)×。球的表面不能展开成平面图形。(4)×。圆台的高是指两个底面之间的距离。2.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为(  )     A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1【解析】选A。由表面积公式知,两球的表面积之比为 =1∶9。3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是(  )【解析】选A。设圆柱底面半径、母线长分别为r,l,由题意知l=2πr,S侧=l2=4π2r2。S表=S侧+2πr2=4π2r2+2πr2=2πr2(2π+1),4.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为(  )A.15π B.30π C.。

11、12π D.36π【解析】选C。设圆锥的高为h,如图,则h= 所以其体积V= Sh= ×π×32×4=12π。类型一 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积【典例】1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  )A.12 π B.12π C.8 π D.10π2.若球的过球心的截面圆的周长是C,则这个球的表面积是(  )A. B. C. D.2πC23.已知某圆锥的底面半径为8,高为6,则该圆锥的表面积为________。 【思维·引】1.根据条件画出图形,根据圆柱的侧面展开图求出圆柱的底面半径。2.根据已知大圆周长求出大圆半径即球的半径,再求球的表面积。3.根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长。【解析】1.选B。因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2 ,底面圆的直径为2 ,。

12、所以该圆柱的表面积为2×π×( )2+2π× ×2 =12π。2.选C。由题意知大圆的半径即球的半径,设为R,由2πR=C,得R= ,所以S球面=4πR2= 。3.由题意,得该圆锥的母线长l= =10,所以该圆锥的侧面积为π×8×10=80π,底面积为π×82=64π,所以该圆锥的表面积为80π+64π=144π。答案:144π【内化·悟】怎样求圆柱、圆锥、圆台的表面积?提示:求圆柱、圆锥、圆台的表面积,关键是求出底面圆的半径,圆柱、圆锥、圆台的高及母线长。【类题·通】1.圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤:解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:(1)得到空间几何体的平面展开图。(2)依次求出各个平面图形的面积。(3)将各平面图形的面积相加。2.球的表面积的求法要求球的表面积,关键是知道半径。

13、R或者通过条件能求出半径R,然后代入球的表面积公式求解。【习练·破】1.过球一条半径的中点,作一垂直于这个半径的截面,截面面积为48π cm2,则球的表面积为____cm2。 【解析】易知截面为一圆面,如图所示,圆O是球的过已知半径的大圆,AB是截面圆的直径,作OC垂直AB于点C,连接OA。由截面面积为48π cm2,可得AC=4 cm。设OA=R cm,则OC= R cm,所以R2- =(4 )2,解得R=8。故球的表面积S=4πR2=256π(cm2)。答案:256π2.如图所示,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,AB=5cm,BC=16cm,AD=4cm。求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积。【解析】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示:其中圆锥的高为16-4=12(cm),圆柱的母线长为AD=4cm,故该几何体的表面积为2π。

14、×5×4+π×52+π×5×13=130π(cm2)。类型二 圆柱、圆锥、圆台、球的体积【典例】1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16 π,则圆锥的体积是(  )    A. B. C.64π D.128 π2.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则该棱台的体积是(  )A.18+6 B.6+2 C.24 D.183.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为(  )【思维·引】1.先由侧面积求出圆锥的底面半径和高,再求体积。2.直接利用公式求体积即可。3.根据与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,先求出小圆的半径,再求球的半径,进而求出球的体积。【解析】1.选A。设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,所以2r= 即l= r,由题意得,侧面积S侧=πr·l= πr2=16 π,所以r=4。所以l=4 ,高h= =4。。

15、所以圆锥的体积V= Sh= π×42×4= π。2.选B。V= (S+ +S′)h= ×(2+ +4)×3=6+2 。3.选D。设截面圆的半径为r,则πr2=π,故r=1,由勾股定理求得球的半径为 ,所以球的体积为 【内化·悟】如何利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式巧解题?提示:利用圆柱、圆锥、圆台的体积公式解题时,首先要记准、记清公式,根据题目给出的已知条件求出底面半径和几何体的高,再利用公式求解即可。【类题·通】求几何体体积的常用方法(1)公式法:直接代入公式求解。(2)等积法:例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可。(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,棱台补成棱锥等。(4)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积。【习练·破】1.若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为 的等边三角形,则该圆锥的体积为(  )。

16、【解析】选B。设圆锥底面圆的半径为r,则圆锥的高为 r。由题意,得 ×(2r)2= ,得r=1,所以该圆锥的体积V= π×12× = π。2.已知Rt△ABC中,C=90°,分别以AC,BC,AB所在直线为轴旋转一周所得三个几何体的体积分别为V1,V2,V。求证:【证明】如图,设AC=b,BC=a,作CH⊥AB于H,则AB= 。由射影定理,得AH= BH= ,CH2=AH·BH= 三个几何体分别是两个圆锥和组合体(有公共底面的圆锥组合体),依题意,得V1= πS1h1= πa2b,V2= S2h2= πb2a,V= π·CH2·AB所以 类型三 与球有关的切、接问题【典例】1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (  )2.长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为________。【思维·引】1.把正方体削成一个体积最大的球,该球。

17、是正方体的内切球,球的直径就是正方体的棱长。2.球是长方体的外接球,球的直径是长方体的体对角线。【解析】1.选A。球的直径是正方体的棱长,所以2R=2,R=1。所以V= πR3= π。2.球的直径是长方体的体对角线,所以2R= S=4πR2=14π。答案:14π【类题·通】球的切接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的相接、相切问题时,一般要通过作一适当的截面,将立体问题转化为平面问题解决,而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等。(2)几个常用结论①球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;②球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径;③球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径;④球与棱锥相切,则可利用V棱锥= S底h= S表R,求球的半径R。【习练·破】1.棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上,求此球的体积。【解析】正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长,即2R= ,所以R= ,所以V球= ·π·( )3=4 π。2.棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上,求其外接球的表面积。【解析】把正四面体放在正方体中,设正方体棱长为x,则a= x,由题意2R= 所以R= a,所以S球=4πR2= a2π。3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长分别为2a,a,a,求其外接球的表面积和体积。【解析】以三棱锥的三条侧棱为长方体从一顶点出发的三条棱,将三棱锥补成长方体,则该长方体的外接球即为三棱锥的外接球,其球的直径等于长方体的体对角线长,故2R=R= a,所以S球=4πR2=6a2π,V球=谢 谢。

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