第五章固体物理能带理论.ppt

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1、第五章晶体中电子能带理论掌握布洛赫波函数、近自由电子近似、平均速度、有效质量、区分导体、半导体和绝缘体。教学目的：电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子势场的作用。能带论的基本出发点:固体中的电子不再是完全被束缚在某个原子周围，而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。玻恩-奥本海默绝热近似：所有原子核都周期性地静止排列在其格点位置上，因而忽略了电子与声子的碰撞。能带论的两个基本假设：平均场近似：忽略电子与电子间的相互作用，用平均场代替电子与电子间的相互作用。能带论是单电子近似的理论。用这种方法求出的电子能量状态将不再

2、是分立的能级，而是由能量的允带和禁带相间组成的能带，这种理论称为能带论。晶体中多原子问题简化为多电子问题多电子问题简化为单电子问题一.周期场模型考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。电子所感受到的势场具有周期性，这样的模型称为周期场模型。当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间。…….经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。——FBloch5.1布洛赫波函

3、数在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为其中，V(r)=V(r+Rl)为周期性势场Rl=l1a1+l2a2+l3a3为晶格格矢方程的解应具有下列形式：——Bloch函数这里，uk(r)=uk(r+Rl)是以格矢Rl为周期的周期函数。确定了波动方程解的基本特点。5.1布洛赫波函数二.Bloch定理（1928年）换句话说：Bloch发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。叫Bloch波函数，或Bloch波。它描述的电子叫Bloch电子这个结论称Bl

4、och定理。Bloch定理也可表述为：它表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子，它不影响波函数的大小，所以电子出现在不同原胞的对应点上几率是相同的，这是晶体周期性的反映。5.1布洛赫波函数5.1布洛赫波函数5.1布洛赫波函数证明布洛赫定理(1)引入平移算符(2)证明:(3)在晶格周期性势场中运动电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。晶格的周期性势场—Bloch函数uk(r)=uk(r+Rl)(1)平移对称算符(2)5.1布洛赫波函数晶体中单电子哈密顿量具有晶格周期性。平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。在直角坐标系中：5.1布洛赫波函数由于对易的算符有

5、共同的本征函数，所以如果波函数是的本征函数，那么也一定是算符的本征函数。根据平移特点(3)5.1布洛赫波函数nRkinR=e)(l.可得到即由周期性边界条件5.1布洛赫波函数根据上式可得到同理可得：这样的本征值取下列形式令5.1布洛赫波函数---布洛赫定理再证明布洛赫波函数具有如下形式：可以看出平面波能满足上式。因此矢量具有波矢的意义。当波矢增加一个倒格矢，平面波也满足上式。5.1布洛赫波函数因此电子的波函数一般应是这些平面波的线性叠加则上式化为即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。5.1布洛赫波函数可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面波因子描

6、述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。三、的取值和范围由周期性边界条件5.1布洛赫波函数5.1布洛赫波函数只能取一些分立的值。可以证明是倒格矢。态和态是同一电子态，而同一电子态对应同一故。个能量，为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值一一对应起来，必须把波矢的值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取：5.1布洛赫波函数,'Kkkkvvvv+=换成相当于波矢hKvh)()(rrKkkvvvrr+=yyh在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波矢点

7、的分布是准连续的。一个波矢对应的体积为：一个波矢代表点对应的体积为：电子的波矢密度为：5.1布洛赫波函数下面证明证明：根据布洛赫定理5.1布洛赫波函数例1：一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为,f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢。解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：5.1布洛赫波函数据布洛赫定理，即在简约布里渊区中，即取5.1布洛赫波函数令m-n=l，四、Bloch函数的性质Bloch函数:周期函数的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有