2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破23双曲线（解析版）.docx

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1、专题23双曲线【考点命题趋势分析】双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，通过对近几年高考数学全国卷和省市卷的研究发现，高考对于双曲线的考查多以选择题、填空题为主.题型主要分为两类:一类是基础题，单纯考查双曲线的基本概念和简单几何性质，考查学生对双曲线基础知识的掌握情况；一类是综合题，表现为双曲线与平面几何的有关知识(如等边三角形的有关性质、三角形的中位线定理、线段垂直平分线的性质、圆的有关定理等)、向量、不等式、函数等知识相结合，考查数形结合、化归与转化、方程思想等，同时考查学生的运算求解能力.在求解策略

2、上，对于基础题可直接套用相对应的公式或运用相关性质，学生要注重对双曲线基础知识的掌握，加强训练，熟练运用相关公式和性质；对于综合题，基本思想方法是“几何入手，代数解决”.根据题目给出的条件建立相对应的平面直角坐标系，画出图像，借助图像结合平面几何的知识对题目加以分析，从而找出问题求解的“钥匙”，最终实现对问题的求解.典型例题与解题方法1依托方程思想与不等式，突破双曲线基础题双曲线的基本题型主要考查基本概念和几何性质，通常以求标准方程，求未知数的具体数值或取值范围的题目为主.求解方法主要是分析已知条件

3、，结合双曲线的概念性质建立相应的方程组.涉及取值范围的题目则需要借助不等式来求解.例1双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x，则a=.思路探求:本题考查双曲线的简单几何性质，考查方程思想和学生的运算求解能力，由条件易知b2=9ba=35，解得a=5.方法点睛:这是一道基础题，学生只要把握好双曲线不同标准方程对应的不同渐近线方程，即可正确求解.类似的题目还有2017年高考数学北京卷文科第10题，这类题型主要考查学生对双曲线的基本概念和双曲线基础知识的掌握情况，如a，b，c之间

4、的关系、离心率、渐近线等.例2已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(-1,3)B．(-1,3)C．(0,3)D．(0,3)26/26思路探求:本题主要考查双曲线的简单几何性质及求解不等式，考查学生的运算求解能力.解法1:根据双曲线的标准方程的概念，由x2m2+n-y23m2-n=1可得m2+n3m2-n>0，从而－m2

5、即n的取值范围是(－1，3).解法2:同解法1有m2=1.所以双曲线的方程变为x21+n-y23-n=1，根据双曲线的定义，则1+n>03-n>0或1+n<03-n<0，由此解得n的取值范围是(-1,3).方法点睛:本题求双曲线方程中未知数的取值范围，需要注意双曲线的焦距是2c而不是c，这点容易出错.学生容易根据焦距求出m2=1，但是如何根据m2=1找出n的不等关系，则体现学生对双曲线定义的理解和把握.2从“几何人手，代数解决”，突破双曲线高考综合题双曲线的综合题主要分为两种，一种是双曲线和椭圆或抛

6、物线的综合题，一种是双曲线和平面几何的有关知识、函数、向量或不等式相结合的综合题.求解双曲线的综合题的中心思想就是“几何入手，代数解决”，大致分为三步:一是根据已知条件建立平面直角坐标系画出图像，使问题变得直观、清晰；二是“以形助数”，分析图像蕴含的几何信息，得出结论与条件之间的数量关系；三是“以数解形”，根据分析的结果运用代数的方法列式解题.例3已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，

7、则C的离心率为.思路探求:本题主要考查双曲线与圆的性质，数形结合、化归转化思想和运算求解能力.如图所示，可作AP⊥MN，点A的坐标为(a，0)，AM=AN=b，而AP⊥AM，所以∠PAN=30°，根据距离公式，点A(a，0)到渐近线26/26y=bax的距离为AP=

8、b

9、1+b2a2.在Rt△PAN中，cos∠PAN=PANA，代入计算可得a2=3b2，即a=3b，由a，b，c的关系c2=a2+b2可得c=2b，所以e=ca=2b3b=233.方法点睛:本题是求双曲线的离心率，中等难度.双曲线渐近线

10、是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下几点:①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc，与此同时，要结合图形适当加以转化，方能顺利解决问题.例4已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A．5B．2C．3D．2思路探求:本题主要考查双曲线标准方程和简单几何性质、解直角三角形，考查学生的几何思想.设