2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破19直线与圆的方程（解析版）.docx

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1、专题19直线与圆的方程【考点命题趋势分析】直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高.纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一

2、大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品

3、味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.典型例题与解题方法1方程问题求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法:(1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径.(2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(I)证明:坐标原点O在圆M上；(Ⅱ)设圆M过点

4、P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.思路探求:(I)要证明坐标原点O在圆M上，我们容易想到先求出圆M27/27的方程，再看原点坐标是否符合该方程.由于直线l是动直线，要想求出圆M的方程并不容易，于是，我们再联想到“圆的直径所对的圆周角为直角”这一性质.因此，只要证明OA⊥OB就可以了，但要注意对直线l的斜率进行讨论，具体过程如下:(i)当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=2，代入抛物线方程求得y=±2，故此时圆的半径为2，易知坐标原点在圆M上.(ii)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x－2)，

5、联立抛物线方程消去x得到ky2－2y－4k=0.设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=2k,y1⋅y2=-4.又x1⋅x2=y12⋅y224=4，所以OA⋅OB=x1⋅x2+y1⋅y2=4-4=0.所以OA⊥OB，又AB为直径，所以坐标原点O在圆M上.(Ⅱ)要求圆M的方程，我们容易想到运用待定系数法，注意到圆M过点P(4，－2)和原点O(0，0)，因此，我们选择设圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，然后将P，O两点的坐标代入圆M方程得到两个关于系数D，E，F的方程，但是，还有一个关于系数D，E，F的方

6、程如何得到呢?注意到条件“圆M是以线段AB为直径”，于是想到把这一条件转化为PA⋅PB=0，因此，找到了解决问题的突破口，具体过程如下:(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，容易得圆M的方程为(x－2)2+y2=4，但P的坐标(4，－2)不满足方程，因此，不合题意.(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2)，由(1)知y1+y2=2k,y1⋅y2=-4,x1⋅x2=y12⋅y224=4，x1+x2=12y12+y22=12y1+y22-2y1⋅y2.于是由PA⋅PB=0，得x1-4,

7、y1+2⋅x2-4,y2+2=0，展开并将上面的式子代入，整理得到k2+k－2=0，解得k=－2或k=1.当k=－2时，直线l:2x+y－4=0，由圆心-D2,-E2在直线l上，可得2D+E+8=0，又(0，0)，(4，－2)两点在圆上，所以有F=0，2D－E+10=0.于是解得D=-92，E=1，F=0.故圆M的方程为x2+y2－x+y=0；当k=1时，直线l:x－y－2=0，由圆心-D2,-E2在直线l上，可得－D+E－4=0.又(0，0)，(4，－2)两点在圆上，所以有F=0，2D－E+10=0，于是解得D=

8、－6，E=－2，F=0.所以圆M的方程为x2+y2－6x－2y=0.方法点睛27/27:用待定系数法求圆的方程，可概括为三步曲一一设、二列、三求解.第一步，要合理地设出圆的方程，一般地，若条件与圆心有关，则宜将方程设为标准方程，否则就设为一般方程；第二步，要正确地列出关于系数D，E，F的一个三元一次方程组(或关于a，b，r的方程组)；第三步，要熟练地解方程组