2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破16数列中的转化与化归（原卷版）.docx

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1、专题16数列中的转化与化归【考点命题趋势分析】数列是高中数学的重要组成部分，同时也是高考重点考查的内容之一.纵观全国各地的高考试卷，数列相关的解答题大都出现在压轴题或倒数第二题的位置，承载着体现考试的区分度、选拔优秀学生的功能.从题目的综合性看，数列问题常与函数、方程、不等式等知识交汇.对近几年各地高考试卷数列解答题的研究发现，数列问题的综合性有从显性的知识点之间的交汇向隐性的方法、技能、思想融合的趋势.特别是当仅仅运用数列本身的知识解决问题比较困难时，我们可以考虑将题目的难点转化化归为其他问题来解决，运

2、用化归和等价转化思想来帮助我们化繁为简、化难为易.典型例题与解题方法1两种基本数列之间的转化等差数列和等比数列是两种最为基本的数列，它们的各种性质之间有着很强的类比性，所以它们之间存在相互转化的可能.等差数列的计算是线性的，等比数列的计算是指数性，所以当等比数列的运算很繁杂时，可以考虑将等比数列转化为等差数列来运算.例1若公比不为1的正项等比数列{an}满足a1a2⋅⋯⋅an=2n(n+1),n∈N*，数列{bn}满足bn=a1an，则{bn}的前n项和Sn为.2存在性问题向函数零点问题的转化与化归因为数

3、列是一种特殊的函数，所以它的很多问题可以通过函数的性质加以解决，诸如单调性、最值等等.近几年的高考题中呈现出一种新的考查趋势:在等差数列、等比数列的存在性问题中，利用基本量构建高次方程和函数来解决问题.例2设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(I)证明:2a1,2a2,2a3,2a4依次成等比数列；(Ⅱ)是否存在a1，d，使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由.3恒成立问题向最值问题转化数列中的恒成立问题有多种类型，如果是关于等式的问题，可以转化为方程

4、组或恒等方程来解决.如果是关于不等式问题，往往可以转化为最值问题来解决.10/10例3已知数列{an}与{bn}满足an+1-an=2bn+1-bn，n∈N*.设a1=3λ<0,bn=λn，求λ的取值范围，使得对任意m,n∈N*,an≠0，且16

5、可以紧扣结论，先构造不等式然后放缩数列来解决问题例4数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4-n+22n-1,n∈N.(I)求a3的值；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn(Ⅲ)令b1=a1，bn=Tn-1n+1+12+13+⋯+1nann≥2，求证:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.最新模拟题强化训练1．已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.2．设数列的前n项和为，已知，（）．（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：，．①求数

6、列的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．10/103．已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且（I）求数列与的通项公式；（II）记求证：,．（考点定位）本小题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、数列求和等基础知识.考查化归与转化的思想方法.考查运算能力、推理论证能力.4．设等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，且(为常数)，令，求数列的前项和。5．数列满足.（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）若数

7、列满足，求的前项和.6．设数列的前项和为，且.（1）求证：数列为等比数列；（2）设数列的前项和为，求证：为定值；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.7．已知数列满足对任意的都有，且．10/10（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．8．已知无穷数列的首项，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.9．数列首项，前项和与之间满足.（1）求证：数列是等差数列；并求数列的通项公式；（2）设存在正数，使对任意都成立，求

8、的最大值.10．已知数列的首项为2，前项的和为，且（）．（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得为整数，若存在求出，若不存在说明理由.11．已知是递增数列，其前项和为，，且，．10/10（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．12．数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n