2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破13基本不等式及其应用(原卷版).docx

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1、专题13基本不等式及其应用【考点命题趋势分析】1综述1.1高考定位高考对基本不等式内容的考查主要有:理解基本不等式在不等式证明、函数最值求解方面的重要应用.试题类型可能是填空题,同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查,构成中高档题.通过不等式的基本知识、基本方法在三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融会贯通,从而提高学生分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生的数学素质及创新意识.1.2应考策略掌握高考考查基本不等式的常见题型,主要有以下四个方面:一是利用基本不等式求两个正数的和的最小值,或积

2、的最大值,或者将一个式子转化为可以利用基本不等式求最值的问题;二是利用基本不等式比较两个实数(或代数式)的大小或证明不等式(放缩法)等;三是利用基本不等式构造不等式;四是将一个实际问题构造成函数模型,利用基本不等式解决.掌握利用基本不等式求最值时,要满足的三个条件,即一正,二定,三相等,而且求解时要逐一检验.1.3知识解读从知识的本质角度看.首先基本不等式是通过“x2≥0这个基本的数量不等式对x进行替换得到的;其次,反映了算术平均数与几何平均数之间的一种不等量关系;再次,基本不等式有很好的几何意义,用它可以很好地解决实际生活中的一些最大值与最小值问题.因此,基本不等式的内容对学生厘清数

3、学知识内部联系与解决实际问题很有好处.从知识的作用角度看.首先,由基本不等式可以推出许多重要的不等式,例如:当a>0,b>0时,有ab⩾21a+1b,a+1a⩾2,ba+ab⩾2等;其次,基本不等式是研究其他不等式的重要基础;再次,证明基本不等式的方法是证明不等式的基本方法之一.因此,基本不等式本身及其证明方法为学生的后续学习奠定了基础.从学生应用的角度看.学习和应用基本不等式有利于学生观察、分析、抽象、概括、归纳、总结等能力的培养,有利于学生对数学知识的整合,如:几何与代数的整合,信息技术与数学的整合等.8/81.4常用变式a2+b2⩾2ab⇒两边同加a2+b2⇒2a2+b2⩾(a+

4、b)2⇒a2+b2⩾(a+b)22⇒-2a2+b2⩽a+b⩽2a2+b2.两边同除以a,a2+b2⩾2ab⇒b2a⩾2b-a(a≠0).两边同除以b,a2+b2⩾2ab⇒a2b⩾2a-b(b≠0).两边同除以ab,a2+b2⩾2ab⇒ab+ba⩾2(ab≠0).用-a代替a,a2+b2⩾2ab⇒a2+b2⩾-2ab⇒a2+b2⩾2ab⩾-a2+b2.用a,b代替a,b,a2+b2⩾2ab⇒a+b2⩾ab(a>0,b>0).1.5应用方式“应用基本不等式求最值”问题需要适当的情境,观察、分析、确定问题中的五个方面:最值的类型、运算的方式、数量的形式、数量的条件、数量的关系,之后才能规范、

5、合理、正确地应用“基本不等式”解决相应的问题,即直接规范正确使用,间接变形合理使用,构造关系变式使用.利用基本不等式x+y2⩾xy时,要注意“正、定、等”三要素,正,即x,y都是正数;定,即不等式另一边为定值;等,即当且仅当x=y时取等号.利用基本不等式x+y2⩾xy时,要注意“积定和最大,和定积最小”这一口诀,并且适当运用拆、拼、凑等技巧.特别应该注意,一般不要出现两次不等号,若出现,则要看两次等号成立的条件是否同时成立.典型例题与解题方法2问题精解2.1利用基本不等式求最值要点:应用基本不等式求和的最小值或积的最大值;构造基本不等式满足的条件求最值.2.1.1运用换元变换,简化条件

6、关系例1求函数y=x2+4x2+3的最小值.8/82.1.2选择消元变形,构造数量关系例2若正数a,b满足1a+1b=1,求1a-1+4b-1的最小值,并求此时a,b的值.2.1.3分析最值类型,转化结构关系例3设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.2.2基本不等式在实际问题中的应用要点:构造函数模型,利用基本不等式求实际问题中的最值问题.例4:如图,有一块边长为1(hm)的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角∠PAQ始终为45°(其中点P,Q分别在边BC,CD上),设∠PAB=θ,tanθ=t.(I)用t表示PQ的长度,并探求△CPQ的

7、周长l是否为定值.(Ⅱ)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至少为多少(hm2)?2.3基本不等式与其他知识的综合应用要点:(1)基本不等式与函数、方程的综合(2)基本不等式与解三角形的综合;(3)基本不等式与解析几何等其他知识的综合应用.例5已知函数f(x)=-1a+2x(x>0).(I)判断f(x)在区间(0,+∞)内的增减性,并证明你的结论;(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)>0;(Ⅲ)若f(x)+2x≥0在区间(0,+∞)内恒成立,

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