2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破11一元二次不等式（解析版）.docx

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1、专题11一元二次不等式【考点命题趋势分析】纵观全国各地高考试题，单纯求解一元二次不等式的问题不多.但由于一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数联系紧密，因此高考命题一般将其综合到集合、函数、数列、直线与圆锥曲线以及导数等试题中，而且试题难度跨度也很大，有必要对一元二次不等式做专题复习.本文从含参的一元二次不等式的解法、恒成立问题、存在(或有)整数解问题、恒成立与存在性混合问题等方面进行设计，试图抛砖引玉，对高三的复习有所帮助.典型例题与解题方法1直接求解一元二次不等式型求解含参数的一元二次不等式，是学生出错率较高的题型，因为分类讨论

2、始终是学生的薄弱环节，而在函数试题中，往往含有对分类讨论能力的考查，因此在复习中既要教授学生解题要领，又要让学生将其强化，以期取得突破.例1解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0a∈R思路探求:由于二次函数f(x)=ax2－(a+1)x+1的二次项系数为字母，因此要先对其符号进行讨论，显然0是分界点.再结合判别式的符号，知1也是分界点.于是讨论分为a<0，a=0，01五种情形展开.解:当a=0时，原不等式可化为－x+1>0，所以原不等式的解集为{x

3、x<1}当a≠0时，判别式△=(a+1)2－4a=(a－1)

4、2.(1)当a=1时，判别式△=0，原不等式可化为x2－2x+1>0，即(x－1)2>0，所以原不等式的解集为{x

5、x≠1}.(2)当a<0时，原不等式可化为x-1ax-1<0，此时1a<1，所以原不等式的解集为x

6、1a0，此时1a>1，所以原不等式的解集x

7、x<1或x>1a.(4)当a>1时，原不等式可化为x-1ax-1>0，此时1a<1，所以原不等式的解集为x

8、x<1a或x>1.方法点睛:处理含参的一元二次不等式的关键在于分类标准的确定，可分三步，①看二次项的系数是否含参

9、数；②计算判别式的值；③求实数根，比较其大小.同时要充分利用一元二次不等式与一元二次函数图像间的关系.22/222化归为一元二次函数(或方程)型一元二次不等式恒成立、存在(或有)整数解、恒成立与存在性混合等问题在全国各地的高考、模考及竞赛中时常出现，而且往往是难题.一般地，把此类问题转化为一元二次函数(或方程)是一个突破口，会起到“柳暗花明”的效果.2.1恒成立问题例2若x∈[－2，2]时，不等式x2+ax+3－a≥0恒成立，求a的取值范围.解法1:令f(x)=x2+ax+3－a，则f(x)=x+a22-a24-a+3，设f(x)在区间

10、[－2，2]上的最小值为g(a).(1)当-a2<-2，即a>4时，g(a)=f(－2)=7－3a≥0，解得a⩽73.又a>4，故a不存在.(2)当-2⩽-a2⩽2，即4≤a≤4时，g(a)=f-a2=-a24-a+3⩾0，解得－6≤a<2.又－4≤a≤4，故－4≤a≤2.(3)当-a2>2，即a<－4时，g(a)=f(2)=7+a≥0，解得a≥－7又a<－4，所以－7≤a<－4.综上可得，a的取值范围是{a

11、－7≤a≤2}解法2:令f(x)=x2+ax+3－a，于是有(1)由△=a2－4(3－a)≤0，可得－6≤a≤2(2)由Δ=a2

12、-4(3-a)>0f(2)⩾0-a2⩾2，可得－7≤a<－6.(3)由Δ=a2-4(3-a)>0f(-2)⩾0-a2⩽-2，可得a不存在.综上可得，a的取值范围是{a

13、－7≤a≤2}解法3:原不等式可化为a(x－1)≥－(x2+3)(1)当x=1时，原不等式显然成立.(2)当1

14、1=-(x-1)+4x-1-2，而函数-(x-1)+4x-1-2在区间[－2，－1)内单调递减，在区间[－1，1)内单调递增，故[f(x)]min=f(－1)=2，则a≤2.综上可得，a的取值范围是{a

15、－7≤a≤2}方法点睛:解法1、解法2的共同点是把一元二次不等式化归为一元二次函数，然后讨论其在给定区间上的最值，讨论的对象是参数a，最后得到的解是三种情形的并集.解法1的特点是以对称轴与给定区间的位置关系为讨论标准，而解法2的特点是以判别式的符号为讨论标准，两种方法既有相似，又各有特色.而解法3运用的是分离参数法，讨论的对象是x，分离

16、参数后，对另一边求最值，最后得到的解是三种情形的交集.变式:若a∈[－2，2]时，不等式x2+ax+3－a≥0恒成立，求x的取值范围.思路探求:本题将式子x2+ax+3－a看作变量a的一次函数，即f(a)=