2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点突破05用导数证明不等式问题（原卷版）.docx

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1、专题05用导数证明不等式问题【考点命题趋势分析】函数综合题多出现在高考压轴题位置，具有考查数学思想方法以及代数推理能力的功能，用导数证明不等式问题是常见的考查形式.本专题设计意图，一是复习用导数证明不等式的基本方法，也就是通过构造函数，把不等式证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值等问题；二是从看似平常的导数问题中发现、提炼不等式，或对常见不等式进行变换，用以解决难度更大的不等式证明问题.典型例题与解题方法1导数证明不等式的常用方法1.1不等号左右两边结构相同的不等式，可以构造函数f(x)，使原不等式化为形如f(a)>f(b)的形式例1已知函数f(x

2、)=(a+1)lnx+ax2+1(a≤－2)证明:对任意x1，x2∈(0，+∞)，fx1-fx2≥4x1-x2.1.2形如f(x)>g(x)的不等式，可以构造函数F(x)=f(x)－g(x)，转化为研究函数F(x)>0的问题例2已知f(x)=a(x-lnx)+2x-1x2,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1，2]成立.1.3形如fx1,x2⩾A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数fx,x2(或fx1,x).例3已知函数f(x)=lnx，设Ax1,y1，Bx2,y2x1

3、=f(x)的图像上两点，f'x0=y2-y1x2-x1(f'x为f(x)的导函数)，证明:x1x-x2(x>0).很多高考试题中的导数证明不等式问题，都有这类常见不等式的背景.例4已知函数f(x)=ln(x+1),g(x)=kx(k∈R).(Ⅰ)证明:当x>0时，f(x)0，使得

4、对任意x∈0,x0，恒有f(x)>g(x)；(Ⅲ)确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对任意的x∈(0，t)，恒有f(x)－g(x)

5、

6、的最小值；(Ⅱ)若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明:11+a2+11+b2+11+c2⩽2710.最新模拟题强化训练1．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．8/82．已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.3．已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.4．已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．5．已知函数，其中．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有（其中e≈2.7183为自然对数的底数）

7、6．设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ记函数的最小值为，证明：．7．已知函数．8/8（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数有两个极值点，，证明:．8．已知函数.（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数）.9．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在极大值，且极大值为1，证明：.10．设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（

8、x）在区间（1，+∞）内恒成立.11．已知函数，．（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性；（3）当时，若存在正实数满足，求证：．12．已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；8/8（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．13．已知函数,其中为自然对数的底数.(1)当时，讨论函数的单调性;(2)当时，求证:对任意的.14．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：．15．已知函数讨论函数的单调性；设，对任意的恒成立，求整数的最大值；求证：当时，16．已知函数.（1）当时，求函数的最小值；（2）若在区间上有两个极值

9、点.（）求实数的取值范围；（）求证：.17．已知函数，且曲线在点处