2021届新高考数学二轮复习微专题核心考点22椭圆与双曲线的离心率（解析版）.docx

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1、专题22椭圆与双曲线的离心率【考点命题趋势分析】与离心率有关的考题是高考的热点问题，该类问题的考查形式多样，题型也较为灵活，有单纯根据曲线方程求解离心率的简单题，也有综合多种知识考查离心率内容的复合题，但从考题的求解过程来看，均离不开对离心率概念和圆锥曲线对应性质的利用.对于一些综合性问题，依然需要从离心率的定义出发，结合离心率的表达式进行关系转化，即剖析问题本质才是求解考题的根本，也是实现考题高效求解的关键.椭圆的离心率01，抛物线的离心率e=1．典型例题与解题方法一、直接求出

2、a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=ca来解决。【典型例题1】设椭圆x2m2+y2m2-1=1(m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．2-12D．34【答案】B【解析】

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=1+3=4=2a，故a=2，即m2=4，b2=m2-1=3，故c=a2-b2=1，e=ca=12.故选：B.【典型例题2】已知双曲线T：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的

7、圆与T在第一、三象限内分别交于点M，N，四边形F1MF2N的面积为60，周长为34，则双曲线T的离心率为（）A．135B．137C．125D．75【答案】B30/30【解析】因为点M在以F1F2为直径的圆上，则MF1⊥MF2，则四边形F1MF2N是矩形，根据题意可得：{

8、MF1

9、⋅

10、MF2

11、=60,

12、MF1

13、+

14、MF2

15、=17,

16、MF1

17、>

18、MF2

19、,解得

20、MF1

21、=12，

22、MF2

23、=5，所以：2a=

24、MF2

25、-

26、MF2

27、=7，2c=

28、MF1

29、2+

30、MF2

31、2=13，所以e=137，故选：B.【典型例题3】

32、双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为（）A．2B．324C．233D．23【答案】B【解析】因为双曲线的右焦点为F(3,0)，即c=3，双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为bx±ay=0；又点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，所以

33、3b

34、b2+a2=1，即3bc=1，所以b=1，则a=c2-b2=22，因此e=ca=324.故选：B．二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，

35、构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。【典型例题1】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，左焦点为F，若以AF为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为（）30/30A．3B．5-12C．32D．5-14【答案】B【解析】设椭圆C:x2a2+y2b2=1的焦距为2c，则F(-c,0)，A(a,0)，因为圆以AF为直径，所以半径r=a+c2，圆心到原点的距离为a-a+c2=a-c2，因为以AF为直径的圆过短轴的一个顶点，所以r2=b2+(a-

36、c2)2，即(a+c2)2=b2+(a-c2)2，化简得ac=b2，ac=a2-c2，ca=1-c2a2，则e=1-e2，e2+e-1=0，(e+12)2=54，解得e=5-12或-5-12（舍去），故选：B.【典型例题2】已知F1，F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点，P是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，若∠PF2Q=90°，则双曲线的离心率为（）A．2B．22C．2-1D．1+2【答案】D【解析】∵PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，∠PF2Q=90°，∴

37、PF1

38、=

39、F

40、1F2

41、∴b2a=2c，b2=2ac，所以c2-a2=2ac∴e2-2e-1=0，30/30∵e>1，∴e=1+2．故选：D．【典型例题3】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C的左支相交于点A，与双曲线的右支相交于点B，O为坐标原点.若2

42、BF2

43、=3

44、AF1

45、，且

46、F1F2

47、=2

48、OB

49、，则双曲线C的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】D【解析】设

50、AF1

51、=2m，则

52、BF2

53、=3m，∵

54、AF2

55、-

56、AF1

57、=2a，∴

58、AF2

59、

60、=2m+2a，同理，

61、BF1

62、=2a+3m，∴

63、AB

64、=

65、BF1

66、-

67、AF1

68、=2a+3m-2m=2a+m，∵

69、F1F2

70、=2

71、OB

72、，∴BF1⊥BF2，在Rt△ABF2，中，

73、AF2

74、2=

75、AB

76、2+

77、BF2

78、2，即(2m+2a)2=(2a+m)2+9m2，得m=2a3，有

79、BF2

80、=2a，

81、BF1

82、=4a，在Rt△BF1F2中，由

83、F1F2

84、2=

85、BF1

86、2+

87、BF2

88、2，即4c2=4a2+16a2=20a2