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1、专题14几何体的外接球与内切球专题【考点命题趋势分析】所谓多面体的外接球，是指这个多面体的各个顶点都在这个球的表面上；所谓多面体的内切球，是指这个球和多面体的每个面都相切，即这个球和多面体的每个面有且只有一个公共点。多面体的外接球和内切球是立体几何的重要内容，也是一个热点、难点内容。解决此类问题，需要有较强的空间想象能力，需要找出球心，求出半径，还需要一番推理论证，因而不少学生望而生畏，束手无策。本专题通过认识几种特殊多面体的外接球和内切球的半径的求法，再通过具体实例得到此类问题的求解策略.典型例题与解题方法必知必会问题01：如何确定球心的位置一、球心基本知识定义:空
2、间中,若一个定点到一个几何体的各顶点的距离都相等,则这个定点就是该几何体的外接球的球心.性质:球心与截面圆(小圆)圆心的连线垂直于截面圆.二、根据上述的定义与性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心位置的几个结论：1.长方体的外接球的球心是其体对角线的中点,半径为体对角线长的一半.2.直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点,半径可在以球心、底面圆心、底面一个顶点为顶点组成的直角三角形中求解.3.正棱锥的外接球球心在其高上,半径可在以球心、底面中心、底面一个顶点为顶点组成的直角三角形中求解.4.若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角
3、形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.5.过几何体其中两个面(外心较易找到)的外心分别作这两个面的垂线,垂线的交点即为球心.必知必会问题02：如何求解球的半径(一般性结论)(1)所有棱长均等于a的三棱锥即正四面体ABCD的外接球的球心位于正四面体的高线上,半径等于64a.(2)侧棱长等于l,底面边长等于a的正三棱锥P-ABC31/31的外接球的球心位于顶点与下底面中心的连线上,半径等于a23+l24.(3)侧棱长等于l、底面是以a和b为直角边的直角三角形的三棱锥P-ABC的外接球球心位于顶点与底面直角三角形斜边中点的连线上,半径为4l2+3a2+3b22.(4)3条
4、侧棱分别为a,b,c且两两垂直的三棱锥P-ABC,以P,A,B,C为顶点构造长方体,则三棱锥外接球的球心位于长方体对角线的中点,半径为a2+b2+c22.(5)对于一般的三棱锥,其外接球的球心在底面或每个侧面三角形的射影是该三角形的外接圆的圆心.必知必会问题03：典型的外接球与内切球模型1墙角模型例1在三棱锥P-ABC中﹐已知PA⊥底面ABC,∠BAC=120°,PA=AB=AC=2,若该三棱锥的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积为()A.103πB.18πC.20πD.9π解析:该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P-ABC,PA=AB=AC=2,所以该三棱锥的外接球
5、,即六棱柱的外接球﹐外接球的直径2R=42+22=25⇒R=5.故该球的表面积为4πR2=20π,故选：C.31/31点评:本题采用补形法,可以灵活应用“墙角”模型,把三棱锥补成正六棱柱.三棱锥的外接球和正六棱柱的外接球是同一个球,可转化为求该六棱柱的外接球的表面积.2“心有所依”模型"心有所依"模型适用于圆锥,侧棱相等的棱锥等几何体,球心必在圆锥的高所在的直线上,或者在棱锥的高所在的直线上.由此可把相关信息转化到某一个直角三角形内,利用勾股定理求解.例2在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=26,AC=AB=4,且AC⊥AB,则该三棱锥外接球的表面积为.解析:设顶
6、点P在底面内的射影为O1,由于PA=PB=PC,所以O1A=O1B=O1C,即点01是底面△ABC的外心.因为AC⊥AB,PA=PB=PC=26,AC=AB=4,所以BC=42,AO1=22,PO1=4.如图所示,设外接球的球心为O,半径为R,则O必在PO1上,O1O=4-R,在Rt△O1OA中,(4-R)2+(22)2=R2,解得R=3.故该三棱锥外接球的表面积为4πR2=36π.点评:对于此题的求解可以灵活应用“心有所依”模型,顶点在底面内的射影是底面三角形的外心,将有关信息转化到Rt△O1OA中,利用勾股定理求解.另外,本题中Rt△ABC斜边上的中点到Rt△AB
7、C各顶点的距离相等,因此只需在过斜边中点且与Rt△ABC所在平面的垂线上探求球心,即可解决问题.31/313“汉堡”模型例3已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,侧面BCC1B1的面积为4,则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径的最小值为.解析:在直三棱柱ABC-A1B1C1
8、中,∠BAC=90°,所以△BAC,△B1A1C1的外接圆的圆心分别是BC的中点D,B1C1的中点D1,则外接球的球心O就是DD1的中点,如图所示.设直三棱柱的高为h,外接球半径为R,由于侧面BCC1B1的面积为4.则BC=4h.所以R2=(h2)2+(2h
