2021届新高考数学二轮复习微专题04导数研究函数的极值与最值（解析版）.docx

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1、专题04导数研究函数的极值与最值【考点命题趋势分析】作为重要的数学工具，导数有求解函数极值（最值）的作用.利用导数的这个作用进行函数极值（最值）问题的研究，则能够为类似问题的求解提供更多便利.而该类问题又具有较为宽泛的命题背景，能够与多种知识点联系在一起，常常在各种专业问题中出现.因此，有必要对如何利用导数研究函数的极值（最值）问题展开分析，以便更好的进行相关问题的求解.典型例题与解题方法【题型一】用导数求解函数极值问题命题点1　根据函数图象判断极值【典型例题】函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a

2、，b）内有极值点（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．故选：C．【再练一题】已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（　　）34/34A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点【解答】解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）＝0，f′（2）＝0但当x＜﹣

3、1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，x＞2时，f′（x）＜0∴﹣1不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C．命题点2　求函数的极值【典型例题】设f（x）＝x3-12x2﹣2x+5（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）求极值点与极值．【解答】解：（I）f（x）＝x3-12x2﹣2x+5，f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＞0即3x2﹣x﹣2＞0解得x∈（﹣∞，-23）∪（1，+∞）令f′（x）＜0即3x2﹣x﹣2＜0解得x∈（-23，1），故函数在(-∞，-23)，（1，+∞）上为单调递增区间，在(-23，1)上为单调递减区间．34/34

4、（II）由f′（x）＝0，即3x2﹣x﹣2＝0解得x=-23或x＝1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：x（﹣∞，-23）-23（-23，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值15727↓极小值72↑∴当x＝1时，f（x）取得极小值72，当x=-23时，f（x）取得极大值15727．【再练一题】已知函数f（x）＝（x2﹣mx﹣m）ex+2m（m＞﹣2，e是自然对数的底数）有极小值0，则其极大值是（　　）A．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2+2ln2B．4e﹣2或（4+ln2）e2+2ln2C．4e﹣2或（4+ln2）e﹣2﹣2ln2D．4e

5、﹣2或（4+ln2）e2﹣2ln2【解答】解：由题意知，f′（x）＝[x2+（2﹣m）x﹣2m]ex＝（x+2）（x﹣m）ex．由f′（x）＝0得，x1＝﹣2，x2＝m，因为m＞﹣2，所以函数f（x）在区间（﹣∞m﹣2）和（m，+∞）内单调递增，在区间（﹣2，m）内单调递减．于是函数f（x）的极小值为f（m）＝0，即x2﹣（m2﹣m2﹣m）ex+2m＝0，m（2﹣ex）＝0，解得m＝0或m＝ln2，当m＝0时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝4e﹣2．当m＝ln2时，f（x）的极大值为f（﹣2）＝（4+ln2）e﹣2+2ln2．故选：A．34/34命题点3　根据极值求

6、参数【典型例题】已知函数f(x)=13x3+ax2-2x在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，则实数a的取值范围（　　）A．a＜12B．a＞12C．a≤12D．a≥12【解答】解：∵函数f(x)=13x3+ax2-2x，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2，∵函数f(x)=13x3+ax2-2x在区间（1，+∞）上有极小值无极大值，∴f'（x）＝x2+2ax﹣2＝0在区间（1，+∞）上有1个实根，（﹣∞，1]上有1个根．△=4a2+8＞0f'(1)=2a-1＜0，解得a＜12．故选：A．【再练一题】已知x=1e函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，则a＝（　　）A．1

7、2B．1C．1eD．2【解答】解：函数f（x）＝xln（ax）+1，可得f′（x）＝ln（ax）+1，已知x=1e函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，可得：ln（a⋅1e）+1＝0，解得a＝1，经验证a＝1时，x=1e函数f（x）＝xln（ax）+1的极值点，故选：B．思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．34/34(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数