2021届新高考数学二轮复习12含参的不等式恒成立或存在性中的参数范围（解析版）.docx

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1、专题12含参的不等式恒成立或存在性中的参数范围【考点命题趋势分析】应用导数研究函数性质的问题中，含参不等式恒成立或存在性成立中的参数范围是常见的探究性问题，这些问题或是分类讨论，也可能表面上是分类讨论，但实际上是逻辑问题，它涉及全称命题、特称命题及充要条件的关系.这类试题关键要判断含参的不等式恒成立或存在性成立的类型，才能确定解题的方法和转化目标.下面例说常见的一类问题.典型例题与解题方法1探究充分性证明必要性的题型例1已知函数f(x)=2xlnx+mx2-1(x-1)(m∈R)，且f(x)≤0(I

2、)当x>0时，求证:1-1x⩽lnx⩽x-1，当且仅当x=1时等号成立；(Ⅱ)求m的取值范围.思路探求:第(I)问是为第(Ⅱ)做知识准备的它是解题中常用的铺垫手法，它在本题中的作用是将超越不等式转化为整式不等式，快速找到f(x)≤0的充分条件.解题首先考虑定义域和怎样等价转化盘活试题的问题，当x>0时，f(x)≤0恒成立，它等价于两个且命题p:当0

3、f(x)的定义域为(0，+∞)，令h(x)=2xlnx+m(x2－1)，当0

4、1)=0，即“m≤－1”是“任意x∈(0，1]，h(x)≥0恒成立”的充分条件.(ii)当－1031/31g'(x)=2x+2m=2mx+2x=2mxx+1m，当x∈1,-1m时，g'(x)>0.所以g(x)在区间1,-1m内是增函数，g(x)>g(1)>0，即当x∈1,-1m时，h'(x)>0，h(x)>h(1)=0.所以存在x0∈(-m,1)，使得1x0∈1,-1m，并且hx0=-x02h1x0<0.(ⅲ)当m≥0

5、时，存在x0∈(0,1)，hx0=2x0lnx0+mx02-1⩽2x0lnx0<0.由(ⅱ)、(ⅲ)知，“m≤－1”也是“任意x∈(0，1]，h(x)≥0，恒成立”的必要条件.综上所述，m的取值范围是(－∞，－1]方法点睛:条件A:m≤－1，条件B:当∀x∈(0，1]时，h(x)≥0恒成立.充分性A⇒B；其必要性B⇒A⇔¬A⇒¬B，其中¬A;m>-1又可拆分成－1

6、x2恒成立，右边函数F(x)=2xlnx1-x2取最小值恰好在间断点x=1，使用洛比达法则limx→1F(x)=limx→1lnx+1-x=-1.但需要两个支撑条件，即F(x)在区间(0，1)内单调递减和极限保号性定理，而仅F(x)在区间(0，1)内单调递减也是不易求证的.2分离参数的题型例2已知函数f(x)=xlnx－2，ux=x-lnx-3.(I)若函数ux的零点x∈(n,n+1)(n∈N)，求n的值；(Ⅱ)令g(x)=f(x)－(k－1)x+3+k，若当x>1，g(x)>0时，求整数k的最大值

7、.思路探求:第(Ⅱ)问由g(x)>0可以分离参数k0.31/31所以u(x)在区间(0，1)内递减，在区间(1，+∞)内递增.当x→0时，u(x)→+∞，u(1)=－2，所以u(x)在区间(0，1)内存在一个零点，此时n=0；又u(4)=1－ln4<0，u(5)=2

8、－ln5>0，所以u(x)在区间(4，5)内存在一个零点，此时n=4.综上所述，n=0或n=4.(Ⅱ)g(x)=f(x)-(k-1)x+3+k=xlnx+x+1－k(x－1)，当x>1时，g(x)>0恒成立，等价于k