2021届新高考数学题核心考点预测第18讲 恒成立问题与存在性问题（解析版）.docx

《2021届新高考数学题核心考点预测第18讲 恒成立问题与存在性问题（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第18讲恒成立问题与存在性问题高考预测一：不等式的恒成立问题1．已知函数，在点，处的切线方程为．（1）求的解析式；（2）求证：当时，；（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．【解析】解：（1），故，由，得，由，得，解得：，故；（2）原命题等价于，，设，，当时，，函数在递增，，故，；（3）对恒成立，，，故，时，，且，，恒成立，即时，函数在递增，，当时，令，解得：，取，，，的变化如下：，0递增极大值递减，显然不成立，综上，满足条件的的最大值是2．2．已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），①时，在恒成立，故在单调递减，②时，由，解得：，由，解得：，故在单调递增

2、，在单调递减；（2）由（1）可得，当时，在单调递减，，当时，在单调递增，在单调递减，（a），令（a），，易知函数（a）在单调递增，又（1），当时，（a），即，满足题意，当时，（a），即，不满足题意，综上所述的取值范围为，．3．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．【解析】解：（1），当时，，又，故，递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；（2），即，时，递增，恒成立，时，，故，令（a），（a），故（a）递减，又，故，综上：，．4．已知函数，其中实数．（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若在区间，上恒成立，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）由可得函数定

3、义域为，，令，经验证（1），因为，所以的判别式△，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以1是的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间，上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间，上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间，恒成立．5．设函数．若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．【解析】解法一：令，对函数求导数：令，解得，当时，对所有，，所以在，上是增函数，又，所以对，都有，即当时，对于所有，都有．当时，对于，，所以在是减函数，又，所以对，都有，即当时，不是对所有的，都有成立．综上，的取值范围是，．解法二：令，于

4、是不等式成立即为成立．对函数求导数：令，解得，当时，，为增函数，当，，为减函数，所以要对所有都有充要条件为．由此得，即的取值范围是，．6．已知函数，为常数，是自然对数的底数），为的导函数，且，（1）求的值；（2）对任意，证明：；（3）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）所以（3分）（2）证明：令，，当，，所以当时单调递增，从而有，；所以，，所以当，；（8分）（3）令，则，令，解得，当时，所以，从而对所有，；在，上是增函数．故有，即当时，对于所有，都有．当时，对于，，所以在上是减函数，所以对于有，即，所以，当，不是所有的都有成立，综上，的取值范围是，（14分）7．设函数

5、．（Ⅰ）求函数在点，处的切线方程；（Ⅱ）求的极小值；（Ⅲ）若对所有的，都有成立，求实数的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，又，，切点为，所求切线方程为．（2分）（Ⅱ）设，得，得；，得，得；，得，得；则．（6分）（Ⅲ）令，则．令，得，得；，得，得；，得，得；（1）当时，，，对所有时，都有，于是恒成立，在，上是增函数．又，于是对所有，都有成立．故当时，对所有的，都有成立．（2）当时，，，对所有，都有恒成立，在上是减函数．又，于是对所有，都有．故当时，只有对仅有的，都有．即当时，不是对所有的，都有．综合（1），（2）可知实数的取值范围，．（12分）8．设函数．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果

6、对任何，都有，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）．（2分）当时，，即；当时，，即．因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数．（6分）（Ⅱ）令，则．故当时，．又，所以当时，，即．（9分）当时，令，则．故当，时，．因此在，上单调增加．故当时，，即．于是，当时，．当时，有．因此，的取值范围是．（12分）9．设函数，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的，都有，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：令，，由，解得：，在，递减，在，递增，，即成立．（Ⅱ）解：记，在，恒成立，，，在，递增，又，①当时，成立，即在，递增，则，即成立；②当时，在，递增，且，必存在使得，则时，，即时，与在，恒成立矛盾，故舍去．

7、综上，实数的取值范围是．10．设函数，其中常数．（1）讨论的单调性；（2）若当时，恒成立，求的取值范围．【解析】解：（1），由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数．综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数．（2）由（1）知，当时，在或处取得最小值，，由假设知，即，解得，故的取值范围是，．11．已知函数，（1）证明为奇函数，并在上为增函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实