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1、1§4.4有理函数的积分有理函数的积分可化为有理函数的积分举例rationalfunction2定义两个多项式的商表示的函数称之为有理函数.一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式真分式;假分式.nnnaxaxa+++-L110mmmbxbxb+++-L1103例多项式的积分容易计算.有理真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和4有理真分式可以分解为一些最简单的分式之和，例如因此，有下列问题需要解决：（1）哪几类分式是最简分式（部分分式）？（2）怎样把一个有理真分式分解为若干个部分分式之和？（3）如何求各类部分分式的
2、积分？如果这三个问题解决了，则有理真分式的积分问题也就解决了，从而有理函数的积分问题也就解决了。5对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理6部分分式(最简分式).（1）分母中若有因式，则分解后为注：有理函数化为部分分式之和的一般规律：如对进行分解时一项也不能少，因为通分后分子上是多项式，可得到k个方程，定出k个系数，否则将会得到矛盾的结果。（2）分母中若有因式，其中则分解后为特殊地：分解后为9用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有两种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋
3、值;10例求解由多项式除法,有说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.假分式11例求解比较系数12代入特殊值来确定系数取取取并将值代入例求解(1)(1)赋值13于是14例求解比较系数二次质因式1516注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列其中A,B,a,p,q都为常数,分别讨论上述几种类型的不定积分.并设四种典型部分分式的积分之和.n为大于1的正整数.171819解例分母是二次质因式的真分式的不定积分2122用递推公式23应重点提高计算的(1)部分分式法;此法一般运算较繁.(2)拆项法;(分项积分法)(3)换元法;(4)配方法.有
4、理函数积分是三角函数有理式积分、无理函数积分的基础,熟练程度和技巧,一般有以下方法:24例求分析解原式=分项凑微分从理论上看,可用部分分式法,但计算复杂,故不宜轻易使用,应尽量考虑其它方法.约去公因子配方25例求解是二次质因式,原式=递推公式法一不能再分解.26求解原式=回代递推公式法二27例求解原式=这是有理函数的积分.如按部分分式法很麻烦.使分母为单项,作变换分析分母是100次多项式,如作一个适当的变换,而分子为多项,除一下,化为和差的积分.28或分项òòò-+---=1009998)1(d)1(d2)1(dxxxxxx例求常规方法:第一步令比较系数定a,b
5、,c,d.得第二步化为部分分式.即令比较系数定A,B,C,D.第三步分项积分.此解法较繁!30技巧例求解原式=21C+31三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之.一般记为如二、可化为有理函数的积分举例1.三角函数有理式的积分和分部积分法讨论过一些.对于三角函数有理式的积分,曾用换元法是否任何一个三角函数有理式的积分都有原函数回答是肯定的.?32由三角学知识可通过变换事实上,由万能公式代换则表示.化为有理函数的积分.u的有理函数例求积分解由万能置换公式36例求解法一回代37法二不用万能代换公式比较以上两种解法,便知万能代换不一定是最佳方
6、法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能代换.结论如若用万能代换，则化部分分式比较困难但若是凑微分，则比较简单39(1)尽量使分母简单.基本思路或分子分母同乘以某个因子,把分母化为的单项式,或将分母整个看成一项.(2)尽量使的幂降低.用倍角公式或积化和差公式以达目的.为此常利40类型解决方法作代换去掉根号.通常先将配方,再用三角变换化为三角函数有理式的积分或直接利用积分公式计算.2.简单无理函数的积分41回代例解令原式=例求积分解令说明无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.43例求解先将无理函数的分子或分母有理化.分析原式例解一令解二令472.简
7、单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）1.三角有理式的积分.（万能代换公式）（注意：万能公式并不是最佳代换）三、小结可化为有理式的积分.思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式49作业习题4-4(218页)3.5.13.21.22.
