【恒心】高考数学(文科)传奇逆袭006-不等式、推理与证明.doc

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1、第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1.实数大小顺序与运算性质之间的关系a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab⇔bb,b>c⇒a>c⇒可加性a>b⇒a+c>b+c⇒可乘性⇒ac>bcc的符号⇒acb+d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)同正可开方性a>b>0⇒>(n∈N,n≥2)1.在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如a≤b,b

2、c.2.在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”,例如当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).[试一试]1.(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则(  )A.ac>bc        B.b2D.a3>b3解析:选D 由性质知选D.2.________+1(填“>”或“<”).解析:=+1<+1.答案:<1.不等式的倒数性质(1)a>b,ab>0⇒<;(2)a<0b>0,0

3、;(4)0(b-m>0);(2)假分数的性质:>;<(b-m>0).[练一练]若00,则与的大小关系为________.答案:>考点一比较两个数(式)的大小1.已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是(  )A.MNC.M=ND.不确定解析:选B M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)

4、=(a1-1)(a2-1),又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.2.若实数a≠1,比较a+2与的大小.解:a+2-==∴当a>1时,a+2>;当a<1时,a+2<.[类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法:一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法:一般步骤是:①作商;②变形;③

5、判断商与1的大小;④结论.(3)特值法:若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.注意:用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.考点二不等式的性质[典例] (1)(2014·太原诊断)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的(  )A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D.必要不充分条件(2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a·(d-c)>b(d-c)中成立的个数

6、是(  )A.1B.2C.3D.4[解析] (1)由“a+c>b+d”不能得知“a>b且c>d”,反过来,由“a>b且c>d”可得知“a+c>b+d”,因此“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件,选D.(2)法一:∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,故①错误.∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0,∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bd<0,∴+=<0,故②正确.∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a-c

7、>b-d,故③正确.∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确,故选C.法二:取特殊值.[答案] (1)D (2)C[类题通法]判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.[针对训练]若

8、a>b>0,则下列不等式不成立的是(  )A.

9、a

10、>

11、b

12、C.a+b<2D.ab>0,∴<,且

13、a

14、>

15、b

16、,a+b>2,又2a>2b,∴a

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