三角形五心教案.ppt

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1、三角形的五心三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。定义：重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点,称为三角形重心;垂心:三角形各边上的高交于一点,称为三角形垂心;外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点,称为三角形外心;内心:三角形三内角平分线交于一点,称为三角形内心;旁心：是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．垂心三角形上作

2、三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清三角形垂心到任一顶点的距离等于其外心到对边距离的2倍内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”如此定义理当然．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为“外心”，用它可作外接圆．“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键．重点记住：（总结）垂心：高交点重心：中线交点内心：角平分线交点外心：中垂线交点性质：（1）重心和三顶点

3、的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）外心扫三顶点的距离相等；（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；（4）内心、旁心到三边距离相等；（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心；（7）中心也是中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。1．在△ABC中，∠A=45°，BC=a，高BE、CF交于点H，则AH=（　　）A．12aC．a分析：取△ABC的外心O及BC中点M，连OB、OC、OM，根据题意可得∠BOC=90°，由外心的性质得OM=1/2a，从而得出AH的长．解答：解：取△ABC的外心O及BC中点M，连OB、OC、OM，由于∠A=45°，故∠BOC=90°，OM=1/2a，由于AH=2OM，AH=a．故选C．点评：本题考查了三角形的外

5、心和性质，掌握外心性质是解题的关键．如图．已知H是△ABC的垂心，O是外心，OL⊥BC于L．求证：AH=2OL分析1：要证AH=2OL，由△CAH中的中位线MK=12AH，转而证明MK=OL即可．由于OL∥AH，MK∥AH，所以OL∥MK，因此，只需证明LK∥OM即可．由已知，这是显然的．证明：证法1：作OM⊥AC于M，取CH的中点K，连接MK，LK，则有MK∥AH∥OL，LK∥BH∥OM，∴四边形OLKM为平行四边形，∴MK=OL．又MK=1/2AH，∴AH=2OL．