函数项级数的收敛域与和函数.ppt

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1、第十三章函数列与函数项级数一、点态收敛的概念二、一致收敛性及其判别法三、一致收敛的函数列与函数项级数的性质§1一致收敛性一、函数列与函数项级数二、函数列一致收敛性三、函数项级数一致收敛性一、函数列与函数项级数的的概念1.函数列的定义:收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数；试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。(1)定义1(2)定义2(3)定义3(4)定义4例1试求下列函数列的收敛域与极限函数解显然解显然问题：是不是所有的连续函数列的极限函数在其收敛域上也连续。？结论是：不一定因此，保持连续

2、性只有收敛的条件是不够的。(1)定义5称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。部分和实际是一个函数列.同时称2.函数项级数的概念对其各项依次用“+”连接起来的表达式记为部分和.特别地,(2)定义6(3)定义7(4)定义8余项可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.例2试求下列级数的收敛域与和函数解解收敛域问题：(1)函数项级数的收敛域与和函数；(2)和函数的分析性质。对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可导,有很好的运算法则.对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可

3、导？由上例(2)知进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先对每个函数积分后，再和.为此引进一致收敛的概念二、函数列的一致收敛回顾：1定义9命题：则由定义显然可得.(2)反之不真.例3判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性解解2.几何意义xoyx0f(x0)的几何意义呢？3.函数列一致收敛的判别法(1)Cauchy准则定理1证3.函数列一致收敛的判别法(1)Cauchy准则定理1虽然Cauchy准则，较用定义判别改进一步，应用时往往也需要较复杂的

4、技巧，操作上不理想的弱点。(2)上确界判别法定理2证(2)上确界判别法定理2证此判别法涉及上确界的求法。当然也可以适当放大，如下所述：例3求下列函数列的收敛域，并讨论一致收敛性解进一步考察一致收敛也可以利用一致收敛的定义验证.解进一步考察一致收敛内闭一致收敛完全与一致连续性质相似例4证明证三、函数项级数的一致收敛函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质，收敛仅仅是局部性质。下面介绍函数项级数的一致收敛性.1定义10函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛.由前讨论可得：以上方法只有在级数的部

5、分和函数列能求得时可用，然而有时求部分和函数列非常困难.2函数项级数一致收敛的判别方法(1)必要条件定理3事实上(2)优级数法－Weierstrass法定理4此法类似于正项级数的比较法，将一致收敛转化为寻找一个收敛的正项级数,称为M-审敛法.证由柯西收敛准则即得例5讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性解解一致收敛例5讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性一致收敛一致收敛类似于数项级数，有方法可以判别形如定理5(3)阿贝尔判别法定理6(4)狄利克雷判别法例6讨论下列函数项级数在给定区间上的

6、一致收敛性解由狄利克雷判别法例6讨论下列函数项级数在给定区间上的一致收敛性解由阿贝尔判别法