利用导数研究不等式.doc

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1、利用导数研究不等式利用导数证明不等式在区间上恒成立的基本方法：（1）构造函数（2）根据函数的单调性，或函数的值域、最值证明注意：（1）适用于不等式两边都含有单个变量时，证明不等式（2）不适用于不等式两边分别是两个不相关的变量的情况，如：（如果不存在最值则使用值域的端点值比较）1、教材99页B组利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：(1)（2）（3）（4）142、设为实数，函数，(1)求的单调区间与极值.(2)求证：当且时，14附加题：1、（2011新课标文）（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；14（

2、Ⅱ）证明：当，且时，.利用导数研究方程解（函数零点）的情况研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化：（1）已知含参函数14存在零点（即至少一个零点），求参数范围问题，一般可作为代数问题求.即对方程参变分离，得到的形式，则所求的范围就是的值域.（1）当研究函数的零点个数问题，即方程的实根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解.1、已知函数（1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.14不等式恒成立与存在性问题题型一：在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一

3、般利用等价转化思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，方法可采用“分离参数法”或“不分离参数法”14直接移项构造函数.（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式（或）在区间D上恒成立；不等式（或）在区间D上恒成立；提醒：（1）“分离参数法”，使得构造的函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论；（2）对于不等式验证区间端点值成立的情形，一般采用“不分离参数法”，它比“分离参数法”操作上简单.希望同学们视不

4、同情形，选择不同方法。1、已知函数（1）求的最小值；（2）若对于所有都有，求实数的取值范围.142、已知函数（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若在区间上，恒成立，求实数的取值范围.143、设函数（1）证明：的导数；（2）若对所有都有，求实数的取值范围.144、已知函数（1）求函数的单调区间；（2）是否存在实数，使得对任意，都有若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.14题型二：不等式有解问题（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；14不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（

5、2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式（或）在区间D上有解；不等式（或）在区间D上有解；例题：已知函数若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.题型三：不等式两边分别是两个不相关的变量的情况（1）对，总存在，使得（2）对，，使得（3）对，，使得14（4）对，，使得例题：已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设，若对任意的均存在使得，求的取值范围.附加题：（2013福建文）22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）．（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；14（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大

6、值．14