数学:4.1.1《复数的概念》课件(北师大版选修1-2).ppt

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1、4.1复数的概念4.1复数的概念知识回顾对于实系数一元二次方程,当时,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有

2、理数集Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起,构成整数集Z,如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分

3、数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数集扩到实数集R以后,像x2=-1这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于-1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数,叫做虚数单位.并由此产生的了复数4.1复数的概念自然数有理数整数无理数实数复数数系的扩充4.1复数的概念引入一个新数,叫做虚数单位,并规定:(1)它的平方等于-1,即(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.形如的数,叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示.NZQRCNZQ

4、R新授课很明显,引进虚数单位后,有i2=-1,(-i)2=i2=-1,所以方程x2=-1的解是x=±I虚数单位的幂的性质:i4n=1, i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i     (n∈N)以上性质叫i的周期性.4.1复数的概念新授课复数的表示:通常用字母z表示,即当时,z是实数a.当时,z叫做虚数.当a=0且时,z=bi叫做纯虚数.实部虚部复数复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系:两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等这就是说,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di有a=c,b=d复数相

5、等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.现有一个命题:“任何两个复数都不能比较大小”对吗?不对 如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小复平面、实轴、虚轴:复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R),由复数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定,又因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,由此可知,复数集与平面直角坐标系

6、中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数         复平面内的点复数复平面内的点这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一

7、的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法.z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法共轭复数(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)(2)复数z的共轭复数用z表示.若z=a+bi(a、b∈R),则z=a-bi(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数.(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与z关于实轴对称.例1请说出           复数的实部和虚部,有没有纯虚数?例2复数-2i+3.14的实部和虚部是什么?例3实数m取什

8、么数值时,复数z=m+1+(m-1)i是:(1)实数?(2)虚数?

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