格林公式(公开教学用).ppt

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1、格林公式及其应用从不定积分与定积分的引入来考虑两者之间没有任何关系,但牛顿—莱布尼茨公式将二者联系起来。格林公式同样是将看似截然不同的两类积分:二重积分与曲线积分有机的统一起来。一、格林(Green)公式1、预备知识:为了学习格林公式,我们先介绍三个基本概念:单连通区域、复连通区域、平面曲线的正向。单连通区域D1)单连通区域:如果D内任一闭曲线所围成的部分全都属于D;D内任意一条闭曲线都可以连续地收缩为一点,这一点也属于D;D为无“洞”的区域。2)复连通区域:存在一些闭曲线它围成的区域不全属于D;存在一些闭曲线不能连续收缩为D中的点;有“洞”的区域(包括“点洞”)。复连通

2、区域D点洞洞3)平面曲线L的正向:当人(观察者)沿L的方向行走时,D内在靠近人的一侧始终在人的左侧。外圈是逆时针方向;内圈是顺时针方向。DD洞(1)D是由分段光滑(或光滑)的有向——格林公式(3)取正向.则有闭曲线围成;(2)函数在D上具有一阶连续偏导数;2、格林(Green)公式(定理1)3、说明:(2)函数在D上必须具(1)L必须是光滑或分段光滑的有向闭曲线,如果不封闭怎么办?有一阶连续偏导数,如果在有些点处不满足(不存在或存在不连续),怎么解决?(重点与难点)(3)L要求取正向.(若不是正向?)同学们思考一下,说明的第(2)条其实是可以修改的,应该改成什么?(4)二

3、重积分的被积函数必须是例1计算下列曲线积分:其中L为星形线的正向。利用后面学过的知识发现积分与路径无关,结论显然是0.其中L为上半圆周沿逆时针方向从A点到点。5、格林公式的证明(体现分析过程)证明(1)先考虑积分区域既是型,又是型区域的情况,如图oDABoDCE型区域型区域按照型区域考虑同理,按照型区域考虑(2)当积分区域不满足既是型,又是型时,如下图(分割成(1)的情况)DDDL(3)当积分区域D为复连通区域时,如右图将复连通区域沿着某一条线段割开,将复连通区域转化为单连通区域(已证)例2计算其中L为一条无重点分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向。二、

4、格林公式的应用1、计算曲线积分1)设P,Q在D内具有一阶连续偏导数补充定理:2)在D内恒有3)为D内任意两条同向闭曲线;4)各自所围的区域中有相同的不属于D的点,则设为围绕原点的简单闭曲线,围成的区域为,与L同向当利用格林公式,结论为0.当时解:例3设C是围绕原点的任意一条光滑简单闭曲线,求(第二届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分,其中的三分之一部分,前面两部分是05年高等数学一试题)解:设为围绕原点的简单闭曲线,围成的区域为,与C同向,例4已知平面区域D的边界取正向边界,试证(首届中国大学生数学竞赛非数学类数学竞赛题15分)右边解:(1)利用格林公式左边利用二

5、重积分的对称性定理:若积分区域关于对称,则欢迎各位老师批评指正!谢谢大家!谢谢大家

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