第四章-第一节-Gauss消元法.ppt

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1、第一节消元法四、消元法的矩阵形式三、主元消元法二、消元法的基本思想一、引言五、小结在自然科学和工程技术问题中，涉及到许多数值计算问题，最终都要归结为解线性代数方程组。其中是可逆的。本章和下一章分别讨论解方程组的直接方法和迭代方法。所谓直接方法就是通过有限次的精确运算能得到真解的一类数值方法。从本质上讲，直接方法的原理是找到一个可逆矩阵，使得是一个上三角阵，这个过程称为“消元”过程。消元之后再进行“回代”，即求解。实际计算过程中，不必明显地计算出矩阵,而只须把和计算出来。这类直接方法中最基本和最简单的就是消元法，本

2、章首先讨论消元法和矩阵分解法，以及消元法在各种情况下的变形，并分析其误差。一、引言用矩阵和向量的记号表示，则有其中为可逆矩阵，消元法分消元和迭代两个过程，消元过程是将(1.1)化成为如下形式的上三角方程组：二、消元法的基本思想考虑阶线性代数方程组：迭代过程是从(1.3)最后一个方程直接解出然后依公式依次求出，称为回代求解。消元过程的实质是对增广矩阵作一系列初等行变换，最后把化为上三角矩阵，得，因为对每做一次初等行变换，相当于对方程式组(1.1)进行一次同解变换，所以与相应的上三角形方程组（1.3）是（1.1）的同

3、解方程组。第二步，假设令于是用上述方法又可把(1.5)化为设方程组（1.1）的增广矩阵不妨设并令第一步消元是用主对角元以下的元素全化为0，得乘第一行然后加到第行上去，从而把第一列(1.5)(1.6)第三步，假设再用消去如此继续，共步即可把方程组(1.1)化为形如（1.3）的上三角方程组：(1.7)其中和分别为方程组(1.3)的系数矩阵和右端向量。这样就完成了消元过程，最后利用公式(1.4)“回代”求解。由以上分析可以看出，消元过程的第步共含除法运算次，乘法运算次，所以消元过程共含乘除法次数为而回代过程的乘除法运算

4、次数为所以消元法总的乘除法次数为如果我们用法则计算(1.1)的解，要计算个阶行列式并作次除法。而计算每个行列式，若用子式展开的方法，则有次乘法，所以用法则大约需要次乘除法运算。例如，当时约需次运算，而用消元法只需次乘法运算。例1方程组解：方程方程(2)得：代入方程(1)得由此得到的解完全失真，如果交换两个方程的顺序，得到等价方程组的精确解为：在消元法计算中取位有效数字。经消元后有由此可以看到，在有些情况下，调换方程组的次序对方程组的解是有影响的，在消元法中抑制舍入误差的增长是十分重要的。三、主元消元法选主元的一种

5、简单办法是，第步消元时，在的第列元素中选取绝对值最大者作为主元，并将其对换到位置上，然后再进行消元计算，这样选取的主元叫列主元。消元法是在的假定下进行的。我们称元素为消元过程中的主元素或简称为主元。在消元过程中的每一步都要选取主元。前面仅要求主元非零，但从数值计算的角度看，主元在计算过程中要作为除数，其绝对值愈小，引起的舍入误差愈大（如例1），反之，舍入误差就较小。因此，在消元法中，我们应该选择绝对值大的元素作为主元。另一种选主元的办法是选所谓全主元，也就是在第步消元时，从的右下方阶矩阵的所有元素中，选取绝对值最

6、大者作为主元，并将其对换到位置上，再做消元计算。由于选取绝对值最大者作为主元，所以在主元消元法中初始误差得到了控制，不再扩大，保证了算法的稳定性。在一般情况下，选列主元所求得的解是可以达到精度要求的，而计算过程要比选全主元简便，又节省时间，因此列主元消元法是一个广为利用的有效方法。应当指出，系数矩阵为对称正定时，不必选主元。四、消元法的矩阵形式据前面的讨论可知，消元法的消元过程是将方程组（1.1）的系数矩阵化为上三角矩阵的过程。根据矩阵乘法规则，容易验证，这一过程实质上是用一系列初等矩阵左乘增广矩阵的结果。第一步

7、，相当于用初等矩阵左乘增广矩阵即类似地，消元过程的第二步相当于用初等矩阵左乘即就是说，每消元一步相当于对方程组的增广矩阵左乘以相应的矩阵此处(1.8)若令则(1.8)式可写为或(1.9)这样，步后便得到因为初等矩阵，故为非奇异矩阵。设则由(1.9)式，有(1.10)(1.11)其中这是一个对角元素都为的下三角矩阵。从上述分析可见，消元过程将矩阵分解为单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，同时由方程组(1.11)解出,而回代过程则是解方程组(1.12)注意：这里矩阵的分解，是在的假设下实现的，就是说不是任何非奇异矩阵都

8、能作分解。可以证明，当的须序主子式全不为零时，存在唯一的分解，这个结论留给有兴趣的读者作练习。五、小结4、消元法的矩阵形式3、主元消元法2、消元法的基本思想1、引言5、小结