2014届高考数学一轮必备考情分析学案：4.6《正弦定理和余弦定理》.doc

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1、文档4.6正弦定理和余弦定理考情分析本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档.基础知识1.正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容变形①②③④解决的问题①已知两边和任一边，求另一角和其他两条边①已知三边，求各角②12/12文档②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角已知两边和它们的夹角求第三边3.三角形的面积公式(1)(2)(3)4.应用举例利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角

2、度问题,计算面积问题等.注意事项1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：12/12文档(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换

3、．题型一　利用正弦定理解三角形【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C.解：∵B＝π－(A＋C)，∴cosB＝cos[π－(A＋C)]＝－cos(A＋C)，∴1＝cos(A－C)＋cosB＝cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC＋sinAsinC＝2sinAsinC，∴sinAsinC＝.由正弦定理＝＝2R，得a＝2RsinA，c＝2RsinC，∵a＝2c，∴sinA＝2sinC，∴2sin2C＝，即sin2C＝，解得sinC＝或sinC＝－(舍去)，∴C＝.【变式1】在△A

4、BC中，若b＝5，∠B＝，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.解析　因为△ABC中，tanA＝2，所以A是锐角，12/12文档且＝2，sin2A＋cos2A＝1，联立解得sinA＝，再由正弦定理得＝，代入数据解得a＝2.答案　　2题型二　利用余弦定理解三角形【例2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，则c＝(　　)A.B.C.3　　　D.答案：A解析：在△ABC中，由余弦定理得cosB＝＝，∵a＝，b＋c＝4，∠B＝30°，∴＝，即3＋4(c－b)＝3c,3＋c＝4b，结合b＋

5、c＝4解得c＝.∴选A.【变式2】已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c12/12文档，且2cos2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．解　(1)由2cos2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－，∵0＜A＜π，∴A＝.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，A＝，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝2，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝bcsinA＝.题型三　利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】►在△ABC中，若(a2＋b2)

6、sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．解　由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，得b2[sin(A－B)＋sinC]＝a2[sinC－sin(A－B)]，即b2sinAcosB＝a2cosAsinB，12/12文档即sin2BsinAcosB＝sin2AcosBsinB，所以sin2B＝sin2A，由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝.故△ABC为等腰三角形或直角三角形．【变式3】在△ABC中，若＝＝；则△ABC是(　　)．A．

7、直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析　由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)．∴＝＝.即tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.答案　B题型四　正、余弦定理的综合应用【例4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.(1)求证：B－C＝；12/12文档(2)若a＝，求△ABC的面积．解：(1)证明：由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，应用正弦定理，得sinBsin(＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，sin

8、B(sinC＋cosC)－sinC(sinB＋cosB)＝，整理得sinBcos