【金版学案】2015-2016学年高中数学 2.4向量的数量积练习(含解析)苏教版必修4.doc

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1、文档2．4　向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：

2、a

3、

4、b

5、cosθa·ba·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为_

10、_________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：

11、a

12、cosθ　

13、b

14、cosθa的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的积　锐角　钝角　90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：

19、a

20、

21、b

22、　－

23、a

24、

25、b

26、　

27、a

28、24．

29、a

30、·b

31、与

32、a

33、·

34、b

35、的大小关系是________．答案：

36、a·b

37、≤

38、a

39、·

40、b

41、10/10文档5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b)　a·(λb)　a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x1x2＋y1y27．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么

42、a

43、＝_

44、_______________________________________，这是平面内两点间的距离公式．答案：8．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔________．答案：x1x2＋y1y2＝09．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a、b的夹角为θ，则有cosθ＝________________．答案：10/10文档　数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，我们把

45、a

46、

47、b

48、cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

49、a

50、

51、b

52、cosθ(0≤θ≤π)．其中

53、a

54、

55、cosθ(

56、b

57、cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜时，cosθ＞0，从而a·b＞0；当＜0≤π时，cosθ＜0，从而a·b＜0；当θ＝时，cosθ＝0，从而a·b＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

58、a

59、与b在a的方向上的投影

60、b

61、cosθ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．　数量积的性质及运算律1．数量积的重要性质．设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角．(1)e·a＝a·e＝

62、a

63、cosθ；(2)a⊥

64、b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝

65、a

66、·

67、b

68、；当a与b反向时，a·b＝－

69、a

70、·

71、b

72、；特别地，a·a＝

73、a

74、2或

75、a

76、＝＝，a·a也可记作a2.(4)

77、a·b

78、≤

79、a

80、·

81、b

82、.2．数量积的运算律．已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝b·a(交换律)；10/10文档(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(数乘结合律)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．说明：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b

83、，都有a·b＝0.(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c.但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.(3)对于实数a、b、c，有(a·b)c＝a(b·c)；但对于向量a、b、c而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．　向量的模设a＝(x，y)，

84、a

85、2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，

86、故

87、a

88、＝，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

89、

90、＝.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．　向量的夹角设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2或a·b＝