专题6.1 数列的通项公式与求和-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版).doc

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1、文档第六章 数列专题1 数列的通项公式与求和(理科)【三年高考】1. 【2017课标II,理3】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏2.【2017课标II,理15】等差数列的前项和为,,,则。3. 【2017某某,理19】已知{xn}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1, 1),P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1,求由该折线与直线y=0,所围成的区域的面积.4.【2016高考某某理数】设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=。

2、4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=,S5=.5. 【2016高考某某理数】已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)令 求数列的前n项和Tn.6.【2016高考某某卷】记.对数列和的子集T,若,定义;若,定义.例如:时,.现设是公比为3的等比数列,且当时,.(1)求数列的通项公式;(2)对任意正整数,若,求证:;(3)设,求证:.7.【2016高考某某理数】已知是各项均为正数的等差数列,公差为,对任意的是和的等差中项.(Ⅰ)设,求证:是等差数列;(Ⅱ)设,求证:8. 【2015高考新课标2,理16】设是数列的前n项和,且,,则________.9.【2015某某高考,11】数列满足,且(),则数列的前10项和为10. 【2015高考新课标1,理17】为数列{}的前项和.已知>0,=.(Ⅰ)求{}的通项公式;(Ⅱ)设 ,求数列{}的前项和.。

3、11.【2015高考某某,理18】设数列的前n项和为.已知.(I)求的通项公式;(II)若数列满足,求的前n项和.【2017考试大纲】数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对数列通项公式和求和这部分的考查,主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法,往往与函数、方程、不等式等知识建立联系,高考中一般会以各种形式考查.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 高考对数列概念与表示方法的考查,要深刻体会数列不光体现一种递推关系,它具有函数特征,故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察,一般会以等差数列和等比数列具体形式出现,或者由项的递推关系或者项与前n项的的关系得出,同。

4、时要注意从特殊到一般思想的灵活运用.对数列求和的考察,要掌握常见的数列求和方法(直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法),往往会和不等式建立联系,会牵涉到放缩法,难度会大点,注意等价转换思想的活用.这部分试题难度属中低档的题目,小题突出“小、巧、活”,主要以通项公式、前n项和公式为载体,结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想,要注重通性、通法;解答题“大而全”,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.由于连续三年大题没涉及数列,故预测2018年高考将以等差数列,等比数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点,特别是错位相减法求和问题,重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力.【2018年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式:一是考察数列的概念与表示;二是数列通项公式;三是数列求和;其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系.【考点1】数列的概念与表。

5、示【备考知识梳理】1.定义:按照一定顺序排列着的一列数.2.表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.3.分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列.4.与的关系:.5.处理方法:.用函数的观点处理数列问题【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数,故数列具有函数的特征(周期性、单调性等).2. 观察法是解决数列问题的法宝,先根据特殊的几项,找出共同的规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定数列的通项公式.【考点针对训练】1. 【某某省冀州中学2017届高三(复习班)上学期第二次阶段考试】若数列是正项数列,且,则__________.2.数列的一个通项公式是A. B. C. D. 【考点2】递推关系与数列通项公式【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中,数列。

6、通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.数列通项公式的求解常用方法:1、定义法,直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.2、公式法, 若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解.3、由递推式求数列通项法,对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.4、待定系数法(构造法),求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.【规律方法技巧】数列的通项的求法:① 公式法:① 等差数列通项公式;②等比数列通项公式.⑵已知(即)求,用作差法:.⑶已知求。

7、,用作商法:.⑷若求用累加法:.⑸已知求,用累乘法:.⑹已知递推关系求,用构造法(构造等差、等比数列).特别地,(1)形如、(为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.如(21)已知,求;(2)形如的递推数列都可以用倒数法求通项.注意:(1)用求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了吗?(,当时,);(2)一般地当已知条件中含有与的混合关系时,常需运用关系式,先将已知条件转化为只含或的关系式,然后再求解. (3)由与的关系,可以先求,再求,或者先转化为项与项的递推关系,再求.【考点针对训练】1. 【某某、某某两省八校2017届高三上学期期中】已知数列的前项和为,且,,则满足的的最小值为( )A. B. C. D.2.【某某省冀州中学2017届高三(复习班)上学期第二次阶段考试】数列满足与(与分别表示的整数部分与分数部分),则( )A. B. C. D.【考点。

8、3】数列求和【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容,考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和,体现了化归的思想方法,其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点.估计在以后的高考中不会有太大的改变.数列求和的常用方法,尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和,数列求和的基本方法:基本公式法:等差数列求和公式:等比数列求和公式:.错位相消法:一般适应于数列的前向求和,其中成等差数列,成等比数列.分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列,然后利用公式法求和.拆项(裂项)求和:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有:若是公差为的等差数列,则;;;;.5.倒序相加法:根据有些数列的特点,将其倒写后与原数列相加,以达到求和的目的.【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式,根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式,若数列是等。

9、差数列或等比数列,直接利用公式求和;若通项公式是等差乘等比型,利用错位相减法;若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消,利用裂项相消法,从近年的考题来看,逐渐加大了与函数不等式的联系,通过对通项公式进行放缩,放缩为易求和的数列问题处理.【考点针对训练】1.【某某师X大学附属中学2017届高三上学期期中】用表示不超过的最大整数,例如,,.已知数列满足,,则_____________.2. 【某某省某某市2017届高三上学期阶段性测评(期中)】已知数列的前项和为,且,数列满足, 则数列的前项和 _________.【应试技巧点拨】1.由递推关系求数列的通项公式(1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法;递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误。

10、认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为(其中p,q均为常数,).把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.3.如何选择恰当的方法求数列的和在数列求和问题中,由于题目的千变万化,使得不少同学一筹莫展,方法老师也介绍过,就不清楚什么特征用什么方法.为此提供一个通法 “特征联想法”:就是抓住数列的通项公式的特征,再去联想常用数列的求和方法.通项公式作为数列的灵魂,只有抓住它的特征,才能对号入座,得到求和方法.特征一:,数列的通项公式能够分解成几部分,一般用“分组求和法”.特征二:,数列的通项公式。

11、能够分解成等差数列和等比数列的乘积,一般用“错位相减法”.特征三:,数列的通项公式是一个分式结构,一般采用“裂项相消法”.特征四:,数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成,一般采用“倒序相加法”.4. 利用转化,解决递推公式为与的关系式.数列{}的前项和与通项的关系:.通过纽带:,根据题目求解特点,消掉一个.然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解.如需消掉,利用已知递推式,把n换成(n+1)得到递推式,两式相减即可.若消掉,只需把带入递推式即可.不论哪种形式,需要注意公式成立的条件5.由递推关系求数列的通项公式(1)利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法,递推关系为用累加法;递推关系为用累乘法.解题时需要分析给定的递推式,使之变形为结构,然后求解.要特别注意累加或累乘时,应该为个式子,不要误认为个. (2)利用待定系数法,构造等差、等比数。

12、列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高.通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法.递推公式为(其中p,q均为常数,).把原递推公式转化为:,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.1. 【2017某某某某5月质检】已知数列的前项和为,且,,则( )A. B. C. D. 2. 【2017某某哈师大附中三模】已知数列满足,则的前50项的和为______.3. 【2017某某某某三模】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:,…,该数列的特点是:前两个数均为 ,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.则( )A. B. C. D. 4。

13、. 【某某省某某市2017届高三上学期第一次调研】已知数列满足,则所有可能的值构成的集合为( )A. B. C. D.5. 【2017某某某某二模】数列满足,且对任意,数列的前项和为,则 的整数部分是 ( )A. B. C. D. 6.【某某省冀州中学2017届高三(复习班)上学期第二次阶段考试】在数列中,,,且,则( )A.0 B.1300 C.2600 D.26027. 【2017某某某某二模】已知各项都为整数的数列中,,且对任意的,满足,,则__________.8. 【2017某某二诊】已知数列的前项和为,若,,,则__________.(用数字作答)9. 【2017某某马某某二模】已知数列是公差不为0的等差数列,,且,,成等比数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前2017项和.10. 【某某省某某市2017届高三第一次诊断性考试】设数列的前项和为,已知.(1)求数列的。

14、通项公式;(2)若对任意的,不等式恒成立,某某数的取值X围.11. 【2016届某某某某三中高三下三模】数列满足,对任意的都有,则( )A. B. C. D.12. 【2016届某某某某一中高三考前冲刺一】数列满足:,且对任意的,都有,则( )A. B. C. D.13. 【2016届某某某某一中高三考前冲刺】已知数列满足,若数列的最小项为,则实数的值为( )A. B. C. D.14. 【2016年某某某某高三二模】数列满足:,则数列前项的和为______.15. 【2016届某某某某一中高三五模】数列的前项和为,,.(1)求数列的通项;(2)求数列的前项和为.【一年原创真预测】1. 【2017年第三次全国大联考(新课标卷Ⅲ)】已知各项均为正数的递增数列的前项和为满足,(),若成等差数列,则(   )A.8B.9C.7或8D.8或92.数列满足,其前项和为,若,则使得最小的值为( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)11 3. 【2017年第二次全国大联考(新课标卷Ⅱ)】设数列的前项和为,已知,,则_____.4. 已知数列的前项和为,,,且当时,是与的等差中项.数列为等比数列,且,.(Ⅰ)求数列、的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.5.已知正项数列中,其前项和为,且().(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前项和.13 / 13。

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