专题52 空间向量的概念(理)(解析版).docx

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1、文档专题52 空间向量的概念(理)专题知识梳理1.空间向量的有关概念①空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量.②相等向量:方向相同且模相等的向量.③共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量.④共面向量:平行于同一个平面的向量.2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa. (2)共面向量定理如果两个量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O,有=x+y+(1-x-y)或=x+y+z,其中x+y+z=1.(3)空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3,空间中不共面的三个向量e1,e2,。

2、e3叫作这个空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉,其X围是[0,π],若〈a,b〉=,则称a与b垂直,记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉 .(2)空间向量数量积的运算律①结合律:(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);②交换律:a·b=b·a;③分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.4.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1+a2b2+a3b3共线a=λb(b≠0,λ∈R)a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a。

3、3b3=0模|a|夹角cos〈a,b〉(a≠0,b≠0)考点探究考向1 空间向量的线性运算【例】如图所示,在空间几何体ABCD­A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2)+. 【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=a++=a+c+=a+c+b.(2)因为M是AA1的中点,所以=+=+=-a+=a+b+c.因为N是BC的中点,则=+=+=+=c+a,所以+=+=a+b+c.题组训练1.如图所示,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2,若=x+y+z,则x+y+z=________.【解析】连结ON,设=a,=b,=c,则=-=(+)-=b+c-a,=+=+=a+=a+b+c.又=x+y+z,所以x=,y=,z=,因。

4、此x+y+z=++=.2.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量=________.【解析】如图所示,连结ON,AN,则=(+)=(b+c),=(+)=(-2+)=(-2a+b+c)=-a+b+c,所以=(+)=-a+b+c.3.设O­ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为________.【解析】如图所示,取BC的中点E,连接AE.==(+)=+=+(+)=+(-+-)=(++),∴x=y=z=.考向2共线定理、共面定理的应用【例】如图所示,已知斜三棱柱ABC ­A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足=k,=k(0≤k≤1).判断向量是否与向量,共面.【解析】∵=k,=k,∴=++=k++k=k(+)+=k(+)+=k+=-k=-k(+)=(1-k)。

5、-k,∴由共面向量定理知向量与向量,共面.题组训练1.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).判断,,三个向量是否共面。【解析】由已知++=3,∴-=(-)+(-).即=+=--,∴,,共面.2.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是_____________.【解析】a与b共线,a,b所在直线也可能重合,故①不正确;根据自由向量的意义知,空间任两向量a,b都共面,故②错误;三个向量a,b,c中任两个一定共面,但它们三个却不一定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间任意一向量p才能表示为p。

6、=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知四个命题中正确的个数为0.3.已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ等于_____.【解析】由题意知c=xa+yb,即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),∴解得λ=-9.考向3 空间向量数量积的应用【例】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.(1)求的长;(2)求与夹角的余弦值.【解析】 (1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,∴a·b=b·c=c·a=.||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,∴||=,即AC1的长为.(2)=b+c-a,=a+b,∴||=,||=,·=(b+c-a)·(a+b)。

7、=b2-a2+a·c+b·c=1,∴cos〈,〉==.即与夹角的余弦值为.题组训练1.如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.【解析】(1)证明:设=p,=q,=r.由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三个向量两两夹角均为60°.=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0.∴⊥,即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)设向量与的夹角为θ.∵=(+)=(q+r),=-=q-p,∴·=(q+r)·====.又∵||=||=a,∴·=||||cos θ=a×a×cos θ=.∴cos θ=.∴向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.2.。

8、已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,某某数k的值.【解析】 (1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),∴a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,又|a|==,|b|==,∴cos〈a,b〉===-,即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.(2)方法一∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且ka+b与ka-2b互相垂直,∴(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,∴k=2或k=-,∴当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.方法二由(1)知|a|=,|b|=,a·b=-1,∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.∴当ka+b与ka-2b互相垂直时,实数k的值为2或-.3.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.(1)求的模;(2)求cos〈,〉的值;(3)求证:A1B⊥C1M.【解析】(1)如图,以点C作为坐标原点O,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.由题意得B(0,1,0),N(1,0,1),所以||==。(2)由题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,||=,||=,所以cos〈,〉==.(3)证明 由题意得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=,所以·=-++0=0,所以⊥,即A1B⊥C1M.9 / 9。

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