专题44 数列的求和(解析版).docx

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1、文档专题44数列的求和专题知识梳理1．公式法如果通项是等差或等比数列，则直接利用公式进行求和．等差数列{an}前n项和公式：Sn＝＝na1＋d．等比数列{an}前n项和公式：q＝1时，Sn＝__na1__；q≠1时，Sn＝＝．2．分组求和法如果一个数列的通项形如an±bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则把它们分别求和．3．错位相减法如果一个数列的通项形如anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则用两式错位相减法．其实，_等比__数列的前n项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法如果一个数列的通项是分式型数列，则可把数列的通项拆

2、成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：＝－，＝(－)，＝－．5．倒序相加法如果一个数列{an}的通项满足，与首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法．如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．6．并项求和法10/10文档一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和，形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050．7．常见数列的前n项和公式：(1)1＋

3、2＋3＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；(3)12＋22＋32＋…＋n2＝．考点探究考向1　利用“分组求和法”求和【例】求和：（1）Sn＝1＋＋＋…＋.（2）1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)．【解析】原式中通项为an＝＝∴Sn＝2＝2＝＋2n－2.（2）数列{an}的通项an＝n(3n＋1)＝3n2＋n，把数列分成了两个数列，分别求和．1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝(3×12＋1)＋(3×22＋2)＋(3×32＋3)＋…＋(3n2＋n)＝3(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＝3·＋＝n(n

4、＋1)2.10/10文档题组训练1.在数列{an}中，a1＝－2101，且当2≤n≤100时，an＋2a102－n＝3×2n恒成立，则数列{an}的前100项和S100＝____．【解析】∵2≤n≤100，∴2≤102－n≤100，将an＋2a102－n＝3×2n中的n换成102－n得，a102－n＋2an＝3×2102－n，消去a102－n得，an＝2103－n－2n，∴S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100＝－2101＋(2101－22)＋(2100－23)＋(299－24)＋…＋(23－2100)＝－4.2.已知数列{an}的通项公式为an＝

5、2n－1＋3n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝___．【解析】数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋3n－1，∴数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(21－1＋3×1－1)＋(22－1＋3×2－1)＋…＋(2n－1＋3×n－1)＝(21－1＋22－1＋…＋2n－1)＋(3×1＋3×2＋…＋3×n)＋…＋n×(－1)＝2n－1＋3×－n＝2n＋n2＋n－1.考向2　利用“裂项相消法”求和【例】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知：，．（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明k=1n(Tk

6、+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n∈N*).10/10文档【解析】（I）设数列的公比为q，代入，得或（舍去）又故.设等差数列的公差为d，代入，中，得，解得，．（II）（i）由（I）得，故Tn=k=1n(2k-1)=k=1n2k-n=2×(1-2n)1-2-n=2n+1-n-2.（ii）因为(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(2k+1-k-2+k+2)k(k+1)(k+2)=k⋅2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1，所以k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=(233-222)+(244

7、-233)+⋯+(2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+2-2.题组训练1.求和：＋＋＋…＋＝___．【解析】因＝－，故Sn＝1－+-=1-＝.2.已知数列的通项公式an＝，则该数列的前____项之和等于9.【解析】，==9，所以解得n=993.已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn＝(an＋1)2.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn及Tn的最小值．【解析】(1)∵(an＋1)2＝4Sn，∴Sn＝，Sn＋1＝，10/10文档∴Sn＋1－Sn＝an＋1＝，即4an＋1＝a－a＋2an＋1－2

8、an，∴2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)·(an＋1－an