专题47 数学归纳法(理)(解析版).docx

《专题47 数学归纳法(理)(解析版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、文档专题47数学归纳法（理）专题知识梳理1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1)归纳奠基：证明凡取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)这两步可断定从正整数n0开始的所有命题都成立.考点探究考向1证明等式问题【例】是否存在实数a，b，使等式＋＋＋…＋＝对于任意正整数n恒成立？证明你的结论．【解析】若存在，则当n＝1时，有＝，当n＝2时，有＝.解之得a＝b＝4.以下用数学归纳法证明：＋＋…＋

2、＝(n∈N*)(*)．(1)当n＝1时，等式(*)成立．(2)假设n＝k时有＋＋…＋＝.则＋＋…＋＋＝＋＝＝＝.9/9文档∴当n＝k＋1时，等式(*)也成立．综上可知，等式(*)对任意自然数n均成立．题组训练用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*).【解析】①当n＝1时，等式左边＝1－12＝12，右边＝12，左边＝右边，等式成立.②假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么，当n＝k＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k－1－1

3、2k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，所以当n＝k＋1时，等式也成立，由①②知，等式对任何n∈N*均成立.考向2　证明不等式问题【例】由下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．【解析】一般结论：1＋＋＋…＋＞(n∈N*)．证明如下：①当n＝1时，由题设条件知命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想正确．即1＋＋＋…＋＞.当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝.9/9文档∴当n＝k＋

4、1时，不等式成立．根据①②可知，对n∈N*，1＋＋＋…＋＞.题组训练1.用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋1n＜2n(n∈N*).【解析】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，所以当n＝1时不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k＜2k，那么当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＜2k＋1k＋1，由4k2＋4k＜4k2＋4k＋1，可得2k2＋k＜2k＋1，即2k＋1k＋1＝2k＋1k＋1k＋1＝2k2＋k＋1k＋1＜2k＋2k＋1＝2k＋1，所以当n＝k＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)可知不等式

5、对所有的n∈N*都成立.2.求证：1＋12＋13＋14＋…＋12n－1＞n2(n∈N*).【解析】(1)当n＝1时，1＞12，不等式成立.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时不等式成立，即1＋12＋13＋14＋…＋12k－1＞k2，那么当n＝k＋1时，1＋12＋13＋14＋…＋12k＋1－1＝1＋12＋13＋14＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＞k2＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＞k2＋12k＋1＋12k＋1＋…＋12k＋12k个＝k2＋2k2k＋1＝k＋12，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.9/9文档由(1)和(2)知，1＋12＋13

6、＋14＋…＋12n－1＞n2(n∈N*).3.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＞的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是__________．【解析】　当n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋，故左边增加的式子是＋－，即.考向3证明整除问题【例】求证：对一切正整数n，42n＋1＋3n＋2都能被13整除.【解析】(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91，显然91能被13整除.(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，那么当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋

7、42k＋1·3＝42k＋1·13＋3(42k＋1＋3k＋2).因为42k＋1·13能被13整除，所以当n＝k＋1时，结论也成立.综上，42n＋1＋3n＋2(n∈N*)都能被13整除.题组训练1.设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值;(2)求证：对任意的正整数n，f(n)是8的倍数.9/9文档【解析】(1)因为n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2，所以f(1)＝3＋7－2＝8，f(2)＝32＋72－2＝56，f(3)＝33＋73－2＝368.(2)用数学归纳法证明如