专题47 数学归纳法(理)(解析版).docx

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1、文档专题47 数学归纳法(理)专题知识梳理1.由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法,通常叫做归纳法.2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: (1)归纳奠基:证明凡取第一个自然数n0时命题成立; (2)归纳递推:假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题成立; (3)由(1)(2)这两步可断定从正整数n0开始的所有命题都成立.考点探究考向1 证明等式问题【例】是否存在实数a,b,使等式+++…+=对于任意正整数n恒成立?证明你的结论.【解析】若存在,则当n=1时,有=,当n=2时,有=. 解之得a=b=4.以下用数学归纳法证明:++…+=(n∈N*) (*).(1)当n=1时,等式(*)成立.(2)假设n=k时有++…+=.则++…++=+===.∴当n=k+1时,等式(*)也成立.综上可知,等式(*)对任意自然数n均成立.题组训练 用。

2、数学归纳法证明:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n(n∈N*).【解析】①当n=1时,等式左边=1-12=12,右边=12,左边=右边,等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k=1k+1+1k+2+…+12k,那么,当n=k+1时,有1-12+13-14+…+12k-1-12k+12k+1-12k+2=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1-12k+2=1k+2+1k+3+…+12k+1+12k+2,所以当n=k+1时,等式也成立,由①②知,等式对任何n∈N*均成立.考向2 证明不等式问题【例】由下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,…,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.【解析】一般结论:1+++…+>(n∈N*).证明如下:①当n=1时,由题设条件知命题。

3、成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想正确.即1+++…+>.当n=k+1时,1+++…+++…+>+++…+>+++…+=+=.∴当n=k+1时,不等式成立.根据①②可知,对n∈N*,1+++…+>.题组训练1.用数学归纳法证明不等式1+12+13+…+1n<2n(n∈N*).【解析】(1) 当n=1时,左边=1,右边=2,所以当n=1时不等式成立.(2) 假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即1+12+13+…+1k<2k,那么当n=k+1时,左边=1+12+13+…+1k+1k+1<2k+1k+1,由4k2+4k<4k2+4k+1,可得2k2+k<2k+1,即2k+1k+1=2k+1k+1k+1=2k2+k+1k+1<2k+2k+1=2k+1,所以当n=k+1时不等式也成立.根据(1)和(2)可知不等式对所有的n∈N*都成立.2.求证:1+12+13+14+…+12n-1。

4、>n2(n∈N*).【解析】(1) 当n=1时,1>12,不等式成立.(2) 假设当n=k(k≥1,k∈N*)时不等式成立,即1+12+13+14+…+12k-1>k2,那么当n=k+1时,1+12+13+14+…+12k+1-1=1+12+13+14+…+12k-1+12k+12k+1+…+12k+1-1>k2+12k+12k+1+…+12k+1-1>k2+12k+1+12k+1+…+12k+12k个=k2+2k2k+1=k+12,所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)和(2)知,1+12+13+14+…+12n-1>n2(n∈N*).3.用数学归纳法证明不等式++…+>的过程中,由k推导到k+1时,不等式左边增加的式子是__________.【解析】 当n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+,故左边增加的式子是+-,即.考向3 证明整除问题【例】求证:对一切正整数n。

5、,42n+1+3n+2都能被13整除.【解析】(1) 当n=1时,42×1+1+31+2=91,显然91能被13整除.(2) 假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,42k+1+3k+2能被13整除,那么当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3(42k+1+3k+2).因为42k+1·13能被13整除,所以当n=k+1时,结论也成立.综上,42n+1+3n+2(n∈N*)都能被13整除.题组训练1.设n∈N*,f(n)= 3n+7n-2.(1) 求f(1),f(2),f(3)的值;(2) 求证:对任意的正整数n,f(n)是8的倍数.【解析】(1) 因为n∈N*,f(n)=3n+7n-2,所以f(1)=3+7-2=8,f(2)=32+72-2=56,f(3)=33+73-2=368.(2) 用数学归纳法证明。

6、如下:①当n=1时,f(1)=3+7-2=8,8是8的倍数;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即f(k)=3k+7k-2是8的倍数,那么当n=k+1时,f(k+1)=3k+1+7k+1-2=3×3k+7×7k-2=3(3k+7k-2)+4×7k+4=3(3k+7k-2)+4(7k+1).因为3k+7k-2是8的倍数,7k+1是偶数,所以3(3k+7k-2)+4(7k+1)是8的倍数,所以当n=k+1时结论也成立.由①②可知,对任意的正整数n,f(n)是8的倍数.2. 证明:An=(3n+1)·7n-1 (n∈N*)能9整除.【解析】证明:(1)当n=1时,A1=27,命题成立. (2)假设n=k时,Ak=(3k+1)·7k-1能被9整除, 则当n=k+1时,Ak+1=(3k+4)·7k+1-1=7·(3k+1)·7k-1+21·7k=(3k+1)·7k-1+(18k+27)·。

7、7k=Ak+(18k+27)·7k 因为Ak是9的倍数,而(18k+27)·7k也是9的倍数,所以Ak+1也是9的倍数, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)、(2)可知,对一切正整数An能被9整除.考向4 归纳—猜想—证明【例】已知函数f0(x)=x(sinx+cosx),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(1) 求f1(x),f2(x)的表达式;(2) 写出fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明.【解析】(1) 因为fn(x)为fn-1(x)的导数,所以f1(x)=f'0(x)=(sinx+cosx)+x(cosx-sinx)=(x+1)cosx+(x-1)(-sinx).同理,f2(x)=-(x+2)sinx-(x-2)cosx.(2) 由(1)得f3(x)=f'2(x)=-(x+3)cosx+(x-3)sinx,把f1(x),f2(x),f3(x)分别改写为f1(x)。

8、=(x+1)sinx+π2+(x-1)cosx+π2,f2(x)=(x+2)sinx+2π2+(x-2)cosx+2π2,f3(x)=(x+3)sinx+3π2+(x-3)cosx+3π2,猜测fn(x)=(x+n)sinx+nπ2+(x-n)cos·x+nπ2(*).下面用数学归纳法证明上述等式.①当n=1时,由(1)知,等式(*)成立;②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,等式(*)成立,即fk(x)=(x+k)sinx+kπ2+(x-k)cosx+kπ2,那么当n=k+1时,fk+1(x)=f'k(x)=sinx+kπ2+(x+k)·cosx+kπ2+cosx+kπ2+(x-k)-sinx+kπ2=(x+k+1)cosx+kπ2+[x-(k+1)]-sinx+kπ2=[x+(k+1)]sinx+k+12π+[x-(k+1)]cosx+k+12π,所以当n=k+1时,等式(*)也成立.。

9、综上所述,当n∈N*时,fn(x)=(x+n)·sinx+nπ2+(x-n)·cosx+nπ2成立.题组训练 1.设f(n)=1+1nn-n,其中n为正整数.(1) 求f(1),f(2),f(3)的值;(2) 猜想满足不等式f(n)<0的正整数n的取值X围,并用数学归纳法证明你的猜想.【解答】(1) f(1)=1,f(2)=14,f(3)=-1727.(2) 猜想:当n≥3时,f(n)=1+1nn-n<0.证明如下:①当n=3时,f(3)=-1727<0成立.②假设当n=k(k≥3,k∈N*)时猜想成立,即f(k)=1+1kk-k<0,所以1+1kk<k,那么当n=k+1时,因为1+1k+1k+1=1+1k+1k(1+1k+1)<1+1kk·1+1k+1<k(1+1k+1)=k+kk+1<k+1,所以1+1k+1k+1<k+1,即f(k+1)=1+1k+1k+1-(k+1)<0成立,所以当。

10、n=k+1时,不等式也成立.由①②可知,当n≥3时,f(n)=1+1nn-n<0成立.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).(1) 求a2,a3,a4的值;(2) 猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.【解析】(1) 当n=2时,由S2=4a2,将a1=1代入,得a2=13;当n=3时,由S3=9a3,将a1=1,a2=13代入,得a3=16;当n=4时,由S4=16a4,将a1=1,a2=13,a3=16代入,得a4=110.(2) 猜想an=2n(n+1),证明如下:当n=1时,a1=21×2=1,猜想成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,即ak=2k(k+1),那么当n=k+1时,Sk+1=(k+1)2ak+1=Sk+ak+1=k2ak+ak+1,整理得ak+1=2(k+1)(k+2),所以当n=k+1时猜想也成立。

11、.综上,当n∈N*时有an=2n(n+1).3.已知数列{an}的各项均为正整数,且a1=1,a2=4,an=,n≥2,n∈N*.(1)求a3,a4的值;(2)求证:对一切正整数n,2anan+1+1是完全平方数.【解析】(1)由a2=得,a3=15,由a3=得,a4=56. (2)2a1a2+1=9=(a2-a1)2,2a2a3+1=121=(a3-a2)2,2a3a4+1=1681=(a4-a3)2,猜想:2anan+1+1=(an+1-an)2.下面用数学归纳法证明.证明:①当n=1,2时,已证;②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,2akak+1+1=(ak+1-ak)2成立,那么,当n=k+1时,由ak+1=知,a-1=akak+2,即ak+2=,又由2akak+1+1=(ak+1-ak)2知,a-1=4akak+1-a,所以ak+2==4ak+1-ak,所以a=4ak+1ak+。

12、2-akak+2=4ak+1ak+2-a+1,所以(ak+2-ak+1)2=2ak+1ak+2+1,即当n=k+1时,命题也成立.综上可得,对一切正整数n,2anan+1+1是完全平方数.4.已知过一个凸多边形的不相邻的两个端点的连线段称为该凸多边形的对角线.(1)分别求出凸四边形,凸五边形,凸六边形的对角线的条数;(2)猜想凸n边形的对角线条数f(n),并用数学归纳法证明.【解析】(1)凸四边形的对角线条数为2条;凸五边形的对角线条数为5条;凸六边形的对角线条数为9条. (2)猜想f(n)=(n≥3,n∈N*). 证明如下:1°当n=3时,f(3)=0成立;2°假设当n=k(k≥3)时猜想成立,即f(k)=,则当n=k+1时,考察k+1边形A1A2…AkAk+1,①k边形A1A2…Ak中原来的对角线也都是k+1边形中的对角线,且边A1Ak也成为k+1边形中的对角线;②在Ak+1与A1,A2,…,Ak连结的k条线段中,除Ak+1A1,Ak+1Ak外,都是k+1边形中的对角线,共计有f(k+1)=f(k)+1+(k-2)=+1+(k-2)====,即猜想对n=k+1时也成立.综上,得f(n)=对任何n≥3,n∈N*都成立.9 / 9。

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