专题14 指数函数-2017原创精品之高中数学黄金100题系列(解析版) Word版含答案.doc

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1、文档I.题源探究·黄金母题【例1】对于函数:(1)探索函数的单调性;(2)是否存在实数使函数为奇函数?【解析】(1)在上是增函数.证明:任取,且,==-=.因为,所以.又因为,所以,即,所以,即,所以函数在上是增函数.(2)假设存在实数使为奇函数,则+=0,即,所以=,即存在实数使为奇函数.II.考场精彩·真题回放【例2】【2015高考某某文】若函数是奇函数,则使成立的的取值X围为()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意,即所以,,解得,所以,于是由不等式,得,解得,故选C.【例3】【2015高考某某理】已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,则,的大小关系为()A.B.C.D.【答案】B【解析】因为为偶函数,所以由,得,所以,解得,所以,,.又在为增函数,所以,故选B.【例4】【2016高考某某理】某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金13。

2、0万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(   )(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg2≈0.30)A.2018年  B.2019年C.2020年  D.2021年【答案】B【解析】设第年的研发投资资金为,又,则.由题意,需,解得,故从2019年该公司全年的投入的研发资金超过200万,故选B.精彩解读【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题【母题评析】本题以指数型函数为载体,考查函数的奇偶性与单调性问题.此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一,达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的.【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种常规方法解决:一是利用定义来解决;二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决.已知性质求相关的参数问题通常要建立。

3、方程来解决.【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用.【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题或填空题的形式出现,难度中等,往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用.【难点中心】(1)处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时,常常要运用逆向思维的方法,体现待定系数法的应用;(2)应用指数函数的图象时,常常涉及不太规X的指数型函数的图象,其作法可能较难;(3)解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式,再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解;(4)在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型,也是相对较难.III.理论基础·解题原理考点一 指数与指数幂的运算1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且∈*.负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作.当是奇数时,,当是偶数时,。

4、2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:(1);(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.3.实数指数幂的运算性质①;②;③.考点二 指数函数的定义一般地,函数(,且)叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域为.考点三 指数函数图象与性质图象特征函数性质向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点(0,1)自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;考点四 指数函数的实际应用主要以指数型函数的应用,因此建立此模型时注意确定参数及。

5、底数是解题的关键.IV.题型攻略·深度挖掘【考试方向】1.通常基本以选择题或填空题的形式出现,难度中等或中等偏下,往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象,以及不等式、方程有联系;2.在解答题中常常与导数相结合,考查函数的单调性、极值、最值等.【技能方法】1.分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在上,值域是或;(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;(3)对于指数函数,总有;(4)当时,若,则;当时,若,则.【易错指导】1.忽视隐含条件,如化简;2.平方开方转换时不等价,如化简:;3.混用运算性质,如化简:;4.对指数函数的定义理解不透彻,如已知函数为指数函数,则是多少?5.忽视对底数的讨论而致错,如求函数的定义域;6.忽视换元后新元的取值X围,如求函数的。

6、值域;7.忽视复合指数型函数的单调性的复合性,如求的单调区间.V.举一反三·触类旁通考向1 指数型函数的定义域【例1】【2016届某某某某效实中学高三上期中考试理】若指数函数的图象过点,则_________;不等式的解集为___________.【答案】,【解析】设指数函数为且,∴,∴,则,即不等式的解集是.【名师点睛】因为指数函数的解析式中只含有一个参数,因此只须一个条件发即可求解,如知指数函数的图象经过一个点.考向2 指数型函数的定义域【例2】【2016届市海淀区高三上学期期中考试文】函数的定义域为_________.【答案】性解不等式即可.考向3 指数的运算法则的应用【例3】(1)计算(2)已知,求值:.【答案】(1);(2)6【解析】(1).(2).【技巧点拨】应用指数的运算法则进行计算注意两点:(1)如果题目中的式子既有根式又有分数指数幂,则先化为分类指数幂以便用法则运算;(2)。

7、如果题目中给出的是分数指数幂,先看是否符合运算法则的条件,如符合用法则直接运算,如不符合应创设条件去求.【例4】已知函数,则(   )A.    B.    C.    D.【答案】C【解析】,所以原式.【技巧点拨】含有省略号“…”的代数式的求值问题,通常要根据条件寻求规律:(1)看前后两项相加是否为同一常数;(2)分析相邻几项之和是否为同一常数,或为规律变化的数.考向4 指数函数的图象过定点【例5】【2016届某某省东北师大附中高三三校联考理科】函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为(   )A.B.C.D.【答案】D【解析】因为函数的图象恒过定点,所以,又因为点在直【方法提炼】因为指数函数恒过定点,则函数所过的定点可令求得横坐标,而纵坐标为,由此可得定点坐标.考向5 求指数复合型函数的单调区间【例6】函数的增区间为___________.减区间为___________.【。

8、解析】令,则是关于上的减函数,而在上是减函数,在上是增函数,∴函数的递增区间是,递减区间是.【规律总结】本题指数复合型函数的单调性问题,因此解答遵循单调性的复合规律,即复合函数的单调性就根据外层函数和内层函数的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.考向6 指数函数单调性的应用【例7】【2016全国Ⅲ理】已知,,,则(   )A.BC.D.【答案】A【解析】,,.因为函数在上为增函数,所以.又函数在上为增函数,所以,则,故选A.【技巧点拨】本题实质上是联用指数函数与幂函数的单调性比较数的大小,一般利用指数函数的单调性时注意统一底数,而利用幂函数的单调性时注意统一指数.【例8】【2016高考某某文】已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值X围是(   )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为为偶函数,所以,则由,知【名师点睛】指数函数单调性的应用主要体现在两个方面:(1)。

9、根据指数函数的性质由自变量大小导出函数值的大小,如本题;(2)根据指数函数的性质由函数值的大小导出自变量的大小.【例9】【2015高考某某】不等式的解集为________.【答案】【解析】因为函数在上为增函数,则由,得,解得,所以不等式的解集为.【技巧点拨】利用指数函数的单调性解不等式关键是统一底数,因此须注意到常见的“3与,9、27、…”,“2与,4,8,…”等的关系.考向7 指数函数的最值(值域)【例10】【2015高考某某理14】已知函数的定义域和值域都是,则___________.【答案】【解析】若,则在上为增函数,所以,此方程组无解;若,则在上为减函数,所以,解得,所以.【易错警示】由于底数的X围不确定,因此解答时注意分与两种情况进行讨论.【例11】【2016届某某省某某一中高三四模文】当,不等式恒成立,则实数的取值X围为________.【答案】【解析】显然,所以原不等式即为,。

10、,【例12】已知函数(是常数,且)在区间上有最大值,最小值为.试求的值.【答案】或.【解析】令.∵,∴.当时,,∴.依题意得;当时,,∴ 依题意得.综上知,或【方法点晴】本题是含有参数且与指数有关的复合函数问题,欲求其在某区间上的最值,需先确定它在该区间上的单调性,从而求出最值,步骤:(1)求复合函数的定义域,(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成,(3)分层逐一求解函数的单调性,(4)求出复合函数的单调区间(注意同增异减),(5)根据复合函数的单调性列出方程(组)求其最值.考向8 指数型函数的奇偶性【例13】【2016届某某省滨州市高三第二次模拟考试理科】若函数为奇函数,则的解集为(   )A.    B.    C.    D.【答案】D【解析】由于函数为上奇函数,所以,所以.由于为增【思路点晴】解决本题的基本思路及切入点是:首先根据函数是上的奇函数求出的值,进而确定的表达式,其次再确。

11、定函数的单调性,进而将不等式进行等价转化,并从中求得不等式的解集,最终使问题得到解决.考向9 指数函数的图象的识别【例14】【2016届某某省某某市一中高三上学期能力测试文】若函数的图象如图所示,则(   )A.,  B.,  C.,  D.,【答案】D【解析】由图易知,而函数的图象是由函数的图象向下平移个单位得到的,而函数恒过点,所以由图可知,故选D.【技巧点拨】识别指数型函数的图象主要考虑三点:(1)图象的走向,即判断其单调性确定图象与底数的关系;(2)由指数函数所过定点确定指数型函数所过的定点位置;(3)由指数函数的渐近线线轴确定指数型函数的渐近线位置.考向9 指数函数的图象的应用【例15】函数的零点个数为(   )A.0    B.1    C.2    D.3【答案】C【解析】函数的零点个数即为方程的根,也是函数与函数考向10 指数函数的实际应用【例16】有一个湖泊受污染,其湖水的容量为V立方米,每天流入湖的水量等于流出湖的水量.现假设下雨和蒸发平衡,且污染物和湖水均匀混合.用,表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数(我们称其湖水污染质量分数),表示湖水污染初始质量分数.(1)当湖水污染质量分数为常数时,求湖水污染初始质量分数;(2)分析时,湖水的污染程度如何.【答案】(1);(2)湖水污染越来越严重.【解析】(1)设,因为为常数,,即,则=.(2)设,则==因为,即,所以,,所以函数在上为增函数,易知湖水污染越来越严重.【名师点睛】此类题型一般表现为题目条件给出了与需要解决问题相关的函数表达式.对于已经给出的函数模型问题,只需通过题目给出的数据信息,套用现成的公式进行推理与代入相关数据计算,因此必须准确理解题意,联系函数相关知识和数学方法解决问题.- 14 - / 14。

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