三人行教育高中数学题库.doc

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1、文档三人行教育高中数学题库函数篇函数定义1设,都是由A到B的映射,其中对应法则(从上到下)如下表:原象123象234原象123象342表一 映射的对应法则 表二 映射的对应法则 则与相同的是________ ①.②.③.④.2定义一个对应法则.现有点与,点是线段上一动点,按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时,点的对应点所经过的路线长度为.分段函数值的问题1(2010某某一模)已知函数则的值是▲2(2010某某二模)定义在R上的满足=则3(2008某某卷5)设函数则的值为4(2009某某卷理) 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为 1 5 (2009某某卷文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为 -16.(2009文)已知函数若,则. 7.(2009理)若函数 则不等式的解集为____________.【答案】8函数,则9已。

2、知函数,则不等式的解集是.10已知则不等式的解集是.函数定义域的问题1(全国一1)函数的定义域为2函数的定义域为3(2009某某卷文)函数的定义域为4(2009某某卷理)函数的定义域为5(2009某某卷4)函数的定义域为6(2009某某卷理)设函数的定义域为,若所有点构成一个正方形区域,则的值为 -4 函数解析式的问题1.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则当时,.2(2009某某卷13)已知函数,,其中,为常数,则方程的解集为. 值域最值恒成立问题1(2010苏北四市一模)已知函数的值域为,则的取值X围是▲.2已知函数的值域为,设的最大值为,最小值为,则的值为________3定义:区间的长度为.已知函数定义域为,值域为,则区间的长度的最大值为4若函数的定义域为[0,m],值域为,则m的取值X围是5若函数的值域是,则函数的值域是6(2010苏北四市三模) 设函数,若且则的取值X围为 .。

3、7已知t为常数,函数在区间[0,3]上的最大值为2,则t=____ 1; ____.8(2010苏北四市一模)在区间上的最大值为2,则实数▲.9(2010苏锡常二模)已知函数,正实数m,n满足,且,若在区间上的最大值为2,则▲.10(2010某某一模).设,已知函数的定义域是,值域是,若关于的方程有唯一的实数解,则=▲.11(2010苏北四市二模).若函数的定义域和值域均为,则的取值X围是 ▲ ___.12设函数f(x)=定义域M=[a,b](a0且≠1)的值域为R,则实数的取值X围21(2008某某卷14)对于总有≥0 成立,则= .22已知:M={a|函数在[]上是增函数},N={b|方程有实数解},设D=,且定义在R上的奇函数在D内没有最小值,则m的取值X围是. m>函数单调性的问题1.(2009某某卷)已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为.【解析】考查指数函数的单调性。。

4、,函数在R上递减。由得:m0,y>0满足,则不等式的解集为__.15如果函数且在区间上是增函数,那么实数的取值X围是.16设,则对任意实数,“”是“”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)17已知函数的值域为且在上是增函数,则的取值X围是18设函数在上可导,且导函数,则当时,下列不等式:(1) (2)(3) (4) 正确的有.19是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数,若,则,,,的大小关系为.(用>连结)20设均为正数,且,,,则的大小关系是函数的奇偶性1(2008某某卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为2已知是偶函数,定义域为,则的值为.3(2009某某卷理)若是奇函数,则.4已知定义域为的函数是奇函数。(1)求的值;(2)证明:函数在上是减函数;(3)若对任意的,不等。

5、式恒成立,求的若函数5(a为常数)在定义域上为奇函数,则k=▲ 6函设数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R,是偶函数,则实数a=_______▲_________7. 1 8.已知函数的最大值为M,最小值为m,则M+m=9方程(为常数,)的所有根的和为.10(2008某某卷6)若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是C(A)f(x)为奇函数(B)f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数(D)f(x)+1为偶函数11(2008某某卷12)设是连续的偶函数,且当x>0时是单调函数,则满足的所有x之和为 -8 12(某某卷11)若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有( D )A.B.C.D.函数周期性1设函数是奇函数且周期为3,则=.2.(2008某某卷9)函数满足,若,则3(2009某某卷文)。

6、已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为4(2009某某卷文)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是 0 5(2009某某卷理)已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是 0 6(2009某某卷理)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则7(2009某某卷文)已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=8若是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有和的值是:_____________.9已知的定义域是,且,,则。10已知函数f(x)是偶函数,并且对于定义域内任意的x, 满足f(x+2)= -,当3<x<4时,f(x)=x, 则f(2008.5)=3.5.函数凹凸性问题1已知且两两不等,则与的大小关系是。函数对称性问题1设函数。

7、,若关于的方程恰有3个不同的实数解,则=。2已知函数的图象关于点对称,则点的坐标为___________.3.(2008某某卷4)设函数f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线x=1对称,则a的值为4函数y=f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-2010)的图像关于点(2010,0)对称,若实数x,y满足不等式f(x-6x)+f(y-8y+24)<0,则x+y的取值X围复合型填空题1(2010某某二模)已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立,那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”,已知下列函数:①f(x)=2x②=;③=;④=,其中是“倍约束函数的是2(2010某某二模)设函数,则下列命题中正确命题的序号有 ▲ . (请将你认正确命题的序号都填上) ①当时,函数在R上是单调增函数; ②当时,函数在R上有最小值; ③。

8、函数的图象关于点对称; ④方程可能有三个实数根3给出以下四个命题:①设,且,则; ②设定义在上的函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是不间断的一条曲线,并且有f (a) · f(b)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点; ③对于任意函数,总是偶函数;④设函数的最大值和最小值分别为M,m,则其中正确的命题的序号是(填上你认为正确的所有命题的序号) .4定义在上的函数,给出下列四个命题:(1)若是偶函数,则的图象关于直线对称(2)若则的图象关于点对称(3)若=,且,则的一个周期为。(4)与的图象关于直线对称其中正确的命题的序号是(填上你认为正确的所有命题的序号) .5下列结论:①已知命题p:;命题q:.则命题“”是假命题;②函数的最小值为且它的图像关于y轴对称;20070326③函数在定义域上有且只有一个零点.其中正确命题的序号为.(把你认为正确的命题序号都填上)6给。

9、出下列四个结论:①函数在它的定义域内是增函数;②函数(为常数)的图像可由函数的图像经过平移得到;③若成等比数列,则也成等比数列;④函数y=4cos2x,x∈[-l0,10]不是周期函数.其中正确结论的序号是_________________.(填写你认为正确的所有结论序号)7直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点,则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数:①;②;③;④其中是一阶格点函数的有。(填上所有满足题意的序号).8某同学在研究函数f (x) = () 时,分别给出下面几个结论:①等式在时恒成立;②函数f (x) 的值域为 (-1,1);③若x1≠x2,则一定有f (x1)≠f (x2);④函数在上有三个零点.其中正确结论的序号有.(请将你认为正确的结论的序号都填上)9已知等差数列{a}的前n项的和为s,若(a-1)+2010(a-。

10、1)=1, (a -1)+2010(a-1)=-1,则下列四个命题中为真命题的序号为(1)s=2009(2)s=2010(3)a<a(4)s0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____14.点P是曲线上任意一点,则当点P到直线的距离取最小值时P点坐标为.15若点P是曲线上的任意一点,则点P到直线的最小距离为16设函数(),.(1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个,某某数的取值X围;(3) 对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)因为,所以,令得:,此时,…………2分则点到直线的距离为,即,解之得.………。

11、…4分(2)解法一:不等式的解集中的整数恰有3个,等价于恰有三个整数解,故,      …………6分令,由且, 所以函数的一个零点在区间,则另一个零点一定在区间,                 …………8分故解之得.…………10分解法二:恰有三个整数解,故,即,…………6分,所以,又因为,   …………8分所以,解之得.……10分(3)设,则.所以当时,;当时,.因此时,取得最小值,则与的图象在处有公共点.………12分设与存在“分界线”,方程为,即,由在恒成立,则在恒成立 .所以成立,因此.………14分下面证明恒成立.设,则.所以当时,;当时,.因此时取得最大值,则成立.故所求“分界线”方程为:.…………16分17(2010某某二模)设函数,.(Ⅰ)若,求的极小值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实常数和,使得和?若存在,求出和的值.若不存在,说明理由.(Ⅲ)设有两个零点,且成等差数列,。

12、试探究值的符号.解18(2007某某理 本小题满分13分)已知定义在正实数集上的函数,,其中.设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同.(I)用表示,并求的最大值;(II)求证:().20.本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力.解:(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同.,,由题意,.即由得:,或(舍去).即有.令,则.于是当,即时,;当,即时,.故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为.(Ⅱ)设,则.故在为减函数,在为增函数,于是函数在上的最小值是.故当时,有,即当时,.19(2010苏南六校联考) 已知半椭圆和半圆组成曲线,其中;如图,半椭圆内切于矩形,且交轴于点,点是半圆上异于的任意一点,当点位于点时,的面积最大。(1)求曲线的方程;(2)连、交分别于点,求证:为定值。零点问题处理1已知函数的零点,且,,,则3.2(2008某某卷13)方程的实数。

13、解的个数为 .23函数的零点个数是4(2009某某卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值X围是 .5(2010某某三模).在区间内不间断的偶函数满足,且在区间上是单调函数,则函数在区间内零点的个数是 ▲ .6(2010某某二模)已知函数若函数有3个零点,则实数m的取值X围是 ▲ .7(2010某某一模)若函数的零点有且只有一个,则实数▲.8(2010苏锡常三模)已知函数(x>0).(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值X围;(2)若a≥2,b=1,求方程在(0,1]上解的个数.解:① 当0<x<2时,,.由条件,得恒成立,即b≥x恒成立.∴b≥2. …………………… 2分② 当x≥2时,,.由条件,得恒成立,即b≥-x恒成立.∴b≥-2. …………………… 4分综合①,②得b的取值X围是b≥2. …………………… 5分(2。

14、)令,即当时,,.∵,∴.则≥0.即,∴在(0,)上是递增函数. ………………… 7分当时,,>0.∴在(,+∞)上是递增函数.……… 9分∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断,∴在(0,+∞)上是递增函数. ………………… 10分∵,而a≥2,∴,则<0.…………… 12分∵a≥2,∴当a≥3时,≥0∴g(x)=0在上有惟一解.…………………………………………… 14分当时,<0∴g(x)=0在上无解.………………………………………………… 16分(9)已知函数,且.(1)证明:函数在R上有零点;(2)设,且,证明函数在上有一个零点;(3)若,设函数的零点为,求的取值X围.(10)设函数(1)求证:;(2)求证:函数在区间(0,2)内至少有一个零点;(2)设是函数的两个零点,求的X围.(11)(苏北四市二模卷)0.已知函数(不同时为零的常数),导函数为.(1)当时,若存在使得成立。

15、,求的取值X围;(2)求证:函数在内至少有一个零点;(3)若函数为奇函数,且在处的切线垂直于直线,关于的方程在上有且只有一个实数根,某某数的取值X围.解:.(1)当时,==,其对称轴为直线,当,解得,当,无解,所以的的取值X围为.………………………………………………4分(2)因为,法一:当时,适合题意………………………………………6分当时,,令,则,令,因为,当时,,所以在内有零点.当时,,所以在(内有零点. 因此,当时,在内至少有一个零点.综上可知,函数在内至少有一个零点.……………………10分法二:,,.由于不同时为零,所以,故结论成立. (3)因为=为奇函数,所以, 所以,又在处的切线垂直于直线,所以,即.因为 所以在上是増函数,在上是减函数,由解得,如图所示,当时,,即,解得;当时, ,解得;当时,显然不成立;yO1x-1当时,,即,解得;当时,,故.所以所求的取值X围是或.(12。

16、)2010某某二模)设函数f(x)=x4+bx2+cx+d,当x=t1时,f(x)有极小值.(1)若b=-6时,函数f(x)有极大值,某某数c的取值X围;(2)在(1)的条件下,若存在实数c,使函数f(x)在闭区间[m-2,m+2]上单调递增,某某数m的取值X围;(3)若函数f(x)只有一个极值点,且存在t2∈(t1,t1+1),使f′(t2)=0,证明:函数g(x)=f(x)-x2+t1x在区间(t1,t2)内最多有一个零点.解:(1)因为 f(x)=x4+bx2+cx+d,所以h(x)=f ′(x)=x3-12x+c.……2分由题设,方程h(x)=0有三个互异的实根.考察函数h(x)=x3-12x+c,则h′(x)=0,得x=±2.x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)h′(x)+0-0+h(x)增c+16 (极大值)减c-16( 极小值)增所以 故-16<c-16,即(。

17、x-2)2(x+4)>0(*)在区间[m-2,m+2]上恒成立. …………7分所以[m-2,m+2]是不等式(*)解集的子集.所以或m-2>2,即-2<m4. ………………………9分(3)由题设,可得存在α,β∈R,使f ′(x)=x3+2bx+c=(x-t1)(x2+αx+β),且x2+αx+β≥0恒成立. …………………………………………………11分又f´(t2)=0,且在x=t2两侧同号,所以f´(x) =(x-t1)(x-t2)2. …………………………………………13分另一方面,g′(x)=x3+(2b-1)x+t1+c=x3+2bx+c-(x-t1)=(x-t1)[(x-t2)2-1].因为 t1 < x < t2,且 t2-t1<1,所以-1< t1-t2 < x-t2 <0.所以 0<(x-t2)2<1,所以。

18、(x-t2)2-10,所以g′(x)0,所以. …………14分设函数,因为在x>0时,h (x)是增函数,所以h (x) = 0至多有一解.因为h (1) = 0,所以方程(*)的解为x2 = 1,从而解得.……………………16分7(2009某某卷文)设函数.(1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值X围.解:(1) , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得,即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.8(2010苏北四市二模).已知函数(不同时为零的常数),导函数为.(1)当时,若存在使得成立,求的取值X围;(2)求证:函数在内至少有一个零点;(3)若函数为奇函数,且在处的切线垂直于直线,关于的方程在上有且只有一个实数根,某某数的取值X围.解。

19、:(1)当时,==,其对称轴为直线,当,解得,当,无解,所以的的取值X围为.………………………………………………4分(2)因为,法一:当时,适合题意………………………………………6分当时,,令,则,令,因为,当时,,所以在内有零点.当时,,所以在(内有零点. 因此,当时,在内至少有一个零点.综上可知,函数在内至少有一个零点.……………………10分法二:,,.由于不同时为零,所以,故结论成立. (3)因为=为奇函数,所以, 所以,又在处的切线垂直于直线,所以,即.因为 所以在上是増函数,在上是减函数,由解得,如图所示,当时,,即,解得;当时, ,解得;当时,显然不成立;yO1x-1当时,,即,解得;当时,,故.所以所求的取值X围是或.9(2010某某二模)已知函数(1) 当a=1时,求函数f(x)的单调增区间(2) 求函数f(x)区间【1,e】上的最小值;(3) 设,若存在,使得成立,某某数。

20、a的取值X围。10(2010某某一模)已知函数为奇函数,且在处取得极大值2.(1)求函数的解析式;(2)记,求函数的单调区间;(3)在(2)的条件下,当时,若函数的图像的直线的下方,求的取值X围。解:(1)由(≠0)为奇函数,∴,代入得,1分∴,且在取得极大值2.∴3分解得,,∴4分(2)∵,∴5分因为函数定义域为(0,+∞),所以(1)当,时,,函数在(0,+∞)上单调递减;6分(2)当时,,∵,∴∴函数在(0,+∞)上单调递减;7分(3)时,,令,得,∵,∴,得,结合,得;令,得,同上得,,∴时,单调递增区间为(,),单调递增区间为(,+∞)9分综上,当≤-1时,函数的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当时,函数的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞)10分(3)当时,,令, 11分,令=0,,得,(舍去).由函数定义域为(0,+∞),13分则当时,,当时,∴当时,。

21、函数取得最小值1-。15分故的取值X围是(1,+∞)。答也正确16分(11)(2010苏锡常二模) 已知函数(,实数,为常数).(1)若(),且函数在上的最小值为0,求的值;(2)若对于任意的实数,,函数在区间上总是减函数,对每个给定的n,求的最大值h(n).12(2010某某二模)设函数,.若存在,使得与同时成立,则实数a的取值X围是▲.13.(某某卷12)已知函数,,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值X围是CA. B. C. D.14(某某卷12)已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值X围是BA. B. C. D. 15(2010某某一模)已知函数,(其中为常数);(1)如果函数和有相同的极值点,求的值;(2)设,问是否存在,使得,若存在,请求出实数的取值X围;若不存在,请说明理由.(3)记函数,若函数有5个不同的零点,某某数的取值X围.16(2。

22、010苏北四市一模)已知正方形的中心在原点,四个顶点都在函数图象上.(1)若正方形的一个顶点为,求,的值,并求出此时函数的单调增区间;(2)若正方形唯一确定,试求出的值.17(某某2010一模)已知二次函数g(x)对任意实数x都满足,且.令.(1)求 g(x)的表达式;(2)若使成立,某某数m的取值X围;(3)设,,证明:对,恒有【解】 (1)设,于是所以又,则.所以. ……………………4分(2)当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;当m=0时,对,恒成立; ……………………6分当m0,得:讨论得:当时,解集为;当时,解集为;当时,解集为.19.已知函数⑴当时,求函数的单调区间;⑵求函数在区间上的最小值.20)(2007某某 )设a≥0,f (x)=x-1-ln2x+2a ln x(x>0).(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值。

23、;21(2007某某文) 设二次函数,方程的两根和满足.(I)某某数的取值X围;(II)试比较与的大小.并说明理由.19.本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和运算能力.解法1:(Ⅰ)令,则由题意可得.故所某某数的取值X围是.(II),令.当时,单调增加,当时,,即.解法2:(I)同解法1.(II),由(I)知,.又于是,即,故.解法3:(I)方程,由韦达定理得,,于是.故所某某数的取值X围是.(II)依题意可设,则由,得,故.22设函数.(Ⅰ)证明:的导数;(Ⅱ)若对所有都有,求的取值X围.(20)解:(Ⅰ)的导数.由于,故.(当且仅当时,等号成立).(Ⅱ)令,则,(ⅰ)若,当时,,故在上为增函数,所以,时,,即.(ⅱ)若,方程的正根为,此时,若,则,故在该区间为减函数.所以,时,,即,与题设相矛盾.综上,满足条件的的取值X围是.23(全国二理 本小题满。

24、分12分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,如果过点可作曲线的三条切线,证明:..解:(1)求函数的导数;.曲线在点处的切线方程为:,即.(2)如果有一条切线过点,则存在,使.于是,若过点可作曲线的三条切线,则方程有三个相异的实数根.记,则.当变化时,变化情况如下表:000极大值极小值由的单调性,当极大值或极小值时,方程最多有一个实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根;当时,解方程得,即方程只有两个相异的实数根.综上,如果过可作曲线三条切线,即有三个相异的实数根,则即.24已知函数.(1)若对任意的实数,都有,求的取值X围;(2)当时,的最大值为M,求证:;(3)若,求证:对于任意的,的充要条件是25设函数(Ⅰ) 求证:为奇函数的充要条件是;(Ⅱ) 设常数,且对任意恒成立,某某数a的取值X围。高次方程(1)2007某某高考已知是不全为的实数,函数,,方程有实根,。

25、且的实数根都是的根,反之,的实数根都是的根,(1)求的值;(3分)(2)若,求的取值X围;(6分)(3)若,求的取值X围。(7分)(2)2010届名校内部交流卷19 已知二次函数f(x)=ax²+bx+c.(1) 若a>b>c,且f(1)=0,是否存在m∈R,使得f(m)=-a成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论:若不存在,说明理由;(2) 若对、∈R,且<,f()≠f(),方程f(x)=[ f()+f()]有两个不等实根,证明必有一个根属于(,);(3) 若f(0)=0,是否存在b的值使{xf(x)=x}={ xf(f(x))=x}成立,若存在,求出b的取值X围;若不存在,说明理由。解:(3)由,得,.由,得方程,解得,.又由,得或.(*)由题意(*)式的解为0或或无解.当(*)式的解为0时,可解得,经检验符合题意;当(*)式的解为时,可解得,经检验符合题意。

26、;当(*)式无解时,,即,.综上所述,当时满足题意.3已知上是减函数,且.(Ⅰ)求的值,并求出和的取值X围;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)求的取值X围,并写出当取最小值时的的解析式.代数推理1. 已知函数在上是单调增函数,当时,,且,则f(5)的值等于▲. 应用题型(1)(2010某某高考)某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m),如示意图,垂直放置的标杆BC高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β(1) 该小组已经测得一组α、β的值,tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值(2) 该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离d(单位m),使α与β之差较大,可以提高测量精确度,若电视塔实际高度为125m,问d为多少时,α-β最大(2)(2009某某高考)按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产。

27、品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为. 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为(1) 求和关于、的表达式;当时,求证:=;(2) 设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3) 记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。【解析】(1) 当时,显然(2)当时,由,故当即时,甲乙两人同时取到最大的综合满意度为.(3)(2008某某高考)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B及CD的中点P处.AB=20km,BC=10km.为了处理这三家工厂的污水,。

28、现要在该矩形区域上(含边界)且与A,B等距的一点O处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为ykm.(1)按下列要求建立函数关系式:(i)设(rad),将表示成的函数;(ii)设(km),将表示成的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。BCDAOP(4) .直角走廊的示意图如图所示,其两边走廊的宽度均为2m.(1)过点P的一条直线与走廊的外侧两边交于A,B两点,且与走廊的一边的夹角为q (0<q<),试用q表示线段AB的长度l(q);2mABPC2mq(2)一根长度为5m的铁棒能否水平(铁棒与地面平行)通过该直角走廊?并请说明理由(铁棒的粗细忽略不计).(5)(苏北四市二模2010)一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁和外壁都是半径为的四分之一圆弧,,分别与圆弧相切于,两点,∥,∥,且两组平行。

29、墙壁间的走廊宽度都是.(1)若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上,且木棒与内壁圆弧相切于点.设,试用表示木棒的长度;NMABCDEFGHPQ1m1m(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值.(6)(2010苏锡常二模)N M PF E DCBA (第18题图)如图,ABCD是正方形空地,边长为30m,电源在点P处,点P到边AD,AB距离分别为m,m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕,.线段MN必须过点P,端点M,N分别在边AD,AB上,设AN=x(m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2).(1)用x的代数式表示AM;(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义 域;(3)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小?(7)(2010某某二模)如图,现在要在一块半径为1m。圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在AB。

30、弧上,点Q在OA上,点M,N在OB上,设的面积为S。(1) 求S关于的函数关系式;(2) 求S的最大值及相应的值。图一第8题图图二(8)已知扇形的圆心角为(定值),半径为(定值),分别按图一、二作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为,则按图二作出的矩形面积的最大值为. (9)(2010某某二模)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中高0.5米,AB=1米, CD=2a(a>)米.上部CmD是个半圆,固定点E为CD的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆.(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将三角通风窗EMN的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数;CABMNDEmmABCDEMN(第8题)(2)当MN与AB之间的距离为多。

31、少米时,三角通风窗EMN的通风面积最大?并求出这个最大面积.解:(1)(一)时,由平面几何知识,得.∴,. ……………3分(二)时,,∴………………………………5分(2) (一)时,.∵,∴,∴.①,当时,.②,当时,.……………7分(二)时,,等号成立.∴时,.…………………………………………10分A.时,∵,∴时.当,,时,当,.……………………………12分B.时,.当时,.……………………………………………14分综上,时,当时,,即MN与AB之间的距离为0米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为平方米.时,当时,, 即与之间的距离为米时,三角通风窗EMN的通风面积最大,最大面积为平方米.………………………16分(10)(2010届8校联考)某机械零件的横截面是由一矩形和一半圆面构成,如图所示,其中矩形ABCD的长AB=2acm,宽BC=10cm,根据实际需要,零件中要有一个等。

32、腰三角形EMN的孔,其中点E为半圆直径CD的中点,M、N在零件的边缘上,M、N与C、D不重合且MN∥AB,设MN与AB之间的距离为xcm,三角形EMN的面积为Scm2.(1)试将S表示成关于x的函数;(2)当MN与AB之间的距离为多少cm时,三角形孔EMN的面积最大?并求出这个最大面积.(11)(2010某某三模) 某品牌茶壶的原售价为80元/个,今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶,甲店用如下方法促销:如果只购买一个茶壶,其价格为78元/个;如果一次购买两个茶壶,其价格为76元/个;……,一次购买的茶壶数每增加一个,那么茶壶的价格减少2元/个,但茶壶的售价不得低于44元/个;乙店一律按原价的75℅销售。现某茶社要购买这种茶壶个,如果全部在甲店购买,则所需金额为元;如果全部在乙店购买,则所需金额为元。(1) 分别求出、与之间的函数关系式;(2) 该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少?(12)(2。

33、010苏锡常三模) 如图是一块长方形区域ABCD,AD=2(),AB=1().在边AD的中点O处,有一个可转动的探照灯,其照射角∠EOF始终为,设∠AOE=α(0≤α≤),探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S.(1)当0≤α<时,写出S关于α的函数表达式;(2)当0≤α≤时,求S的最大值.(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(OE自OA转到OC,再回到OA,称“一个来回”,忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间),且转动的角速度大小一定,设AB边上有一点G,且∠AOG=,求点G在“一个来回”中,被照到的时间.G a F E D C B A O (第19题)(13)(苏北四市三模)某单位有员工1000名,平均每人每年创造利润10万元。为了增加企业竞争力,决定优化产业结构,调整出名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为万元,剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.(1。

34、)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?(2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则的取值X围是多少?(14)(2010某某三模)田忌和齐王赛马是历史上有名的故事. 设齐王的3匹马分别为A、B、C,田忌的3匹马分别为a,b,c,6匹马的奔跑速度由快到慢的顺序依次为:A,a,B,b,C,c. 两人约定:6匹马均需参赛,共赛3场,每场比赛双方各出1匹马,最终至少胜两场者为获胜. (1)如果双方均不知道对方的出马顺序,求田忌获胜的概率; (2)颇有心计的田忌赛前派探子到齐王处打探实情,得知齐王第一场必出A马. 那么,田忌应怎样安排马的出场顺序,才能使获胜的概率最大?(15)某某某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其。

35、横断面要求面积为平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为(米),外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为(米).⑴求关于的函数关系式,并指出其定义域;⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米,则其腰长应在什么X围内?⑶当防洪堤的腰长为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.(16)(2010某某一模) 甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化,甲水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是:,乙水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是:.问:何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值?最大值为多少?(参考数据:)(17)(2010某某一模)经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以30天计),日旅游人数(万人)与时间(天)的函数关系近似满足,人均消费(元)与时间(天)的函数关系近似满足.(Ⅰ)求该城市的旅游日收益(万元)与时间的函数关系式;(Ⅱ)求该城市。

36、旅游日收益的最小值(万元). (18)(2010某某一模) 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. (1)设,把y表示成的函数关系式;OBCAP(第18题图)(2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?(19)某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不作广告宣传且每件获利元的前提下,可卖出件;若作广告宣传,广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件,(1)试写出销售量与的函数关系式;(2)当时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告,才能获利最大?(20)3.要设计一容积为V的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐,已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半,而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半,问储油罐的下部圆。

37、柱的底面半径R为何值时造价最低?解:设圆柱的高为h,下底面单位面积的造价为a.则V=pR2h+pR3.所以h=-R.因为h>0,所以0<R<.设总造价为y,则y=pR2×a+2pRh×+2pR2×=pa(R2+Rh)=a(pR2+-pR2)=a(pR2+).y¢=a(pR-)=.令y¢=0得R=,当R∈(0,)时,y¢<0,y为减函数;当R∈(,)时,y¢>0,y为增函数.所以当R=时,y有最小值.答:当储油罐的下部圆柱的底面半径R=时,造价最低.(21).某公司为了加大产品的宣传力度,准备立一块广告牌,在其背面制作一个形如△ABC的支架,要求∠ACB=60°,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米.为节省材料,要求AC的长度越短越好,求AC的最短长度,且当AC最短时,BC的长度为多少米?BCA解:.设BC=x米(x>1),AC=y米,则AB=y-.在△ABC中,由余弦定理,得(y-)2=y2+x2-2xycos60°.所以y=(x>1).法一:y==(x-1)++2≥2+.当且仅当x-1=,即x=1+时,y有最小值2+.法二: y′==.由y′=0得x=1+.因为当1<x<1+时,y′<0;当x>1+时,y′>0,所以当x=1+时,y有最小值2+.答:AC的最短长度为2+米,此时BC的长度为(1+)米.ABPMDQNC第22题(22)(2010某某二模)如图,互相垂直的两条公路、旁有一矩形花园,现欲将其扩建成一个更角形花园,要求在射线上,在射线上,且过点,其中米,米. 记三角形花园的面积为S. (Ⅰ)当的长度是多少时,S最小?并求S的最小值. (Ⅱ)要使S不小于平方米,则的长应在什么X围内?63 / 63。

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