实验五--种群数量的状态转移——微分方程.doc

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1、开课学院、实验室:通信工程学院DS1407实验时间:课程名称数学建模实验项目名称实验五种群数量的状态转移——微分方程实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师成绩实验目的[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法;[2]掌握解析、数值解法,并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析;[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令;[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程;基础实验一、实验内容1.微分方程及方程组的解析求解法;2.微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法;3.直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值

2、解);4.利用图形对解的特征作定性分析;5.建立微分方程方面的数学模型,并了解建立数学模型的全过程。二、实验过程(一般应包括实验原理或问题分析,算法设计、程序、计算、图表等,实验结果及分析)1.求微分方程的解析解,并画出它们的图形,y’=y+2x,y(0)=1,0

3、abel('x')ylabel('y')图表:00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.522.533.544.5xy实验结果:y=-2*x-2+exp(x)*C1y1=-2*x-2+3*exp(x)实验分析:由图表知结果正确。2.用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y(0)=1(0≤x≤1,h=0.1)的数值解,要求编写程序,并比较两种方法的计算结果,说明了什么问题?实验原理:1)向前欧拉公式:(y’=f(x,y))y(xn+1)»y(xn)+hf(xn,y(xn))(迭代式)yn+1»yn+hf(xn,yn)(近似式)特点:f(x,y

4、)取值于区间[xn,xn+1]的左端点2)向后欧拉公式yn+1»yn+hf(xn+1,yn+1)特点:①f(x,y)取值于区间[xn,xn+1]的右端点.②非线性方程,称‘隐式公式’。问题分析:用不同的方法来求解。用向前欧拉公式时,用xn代替,用向后欧拉公式,用x(n+1).程序:x1(1)=0;y1(1)=1;y2(1)=1;fork=1:10x1(k+1)=x1(k)+0.1;y1(k+1)=y1(k)+0.1*(y1(k)-2*x1(k)/y1(k));y2(k+1)=y2(k)+0.1*(y2(k+1)-2*x1(k+1)/y2(k+1));endx1,y1,y2,x=0

5、:0.1:1;y=sqrt(2*x+1)plot(x,y,x1,y1,'k:',x1,y2,'r--')图表:00.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.11.21.31.41.51.61.71.8结果:x1=00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y1=1.00001.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y2=1.00001.08111.14481.19281.22731.25011.26351.2

6、6941.26981.26621.2604y=1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321分析:向前欧拉公式较接近真实结果,向后欧拉公式差距较大。应用实验(或综合实验)一、实验内容盐水的混合问题一个圆柱形的容器,内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入,同时,容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时,容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。二、问题分析设单位时间为dt,体积为t则含盐量为v=350+14*dt-10.5*dt

7、;三、数学模型的建立与求解(一般应包括模型、求解步骤或思路,程序放在后面的附录中)列出方程再求解。四、实验结果及分析02004006008001000120001234567含盐量随时间而降低。五、附录(程序等)y=zeros(1,1001);v=350;y(1)=7;dt=.1;fori=2:1001v=350+14*dt-10.5*dt;y(i)=y(i-1)-y(i-1)/v*10.5*dt;endplot(1:1001,y)总结与体会通过该实验的学习,掌握微分方程(组)求

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