数列求和的七大技巧.doc

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1、数列求和的七大技巧★数列在高考中的要求：1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶

2、联系的递推等，是高考的热点。要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。4．数列求和的问题往往和其他知识综合在一起，综合性教强。数列求和就显得特别重要，数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法，那么必须掌握几种常用的数列求和方法。5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也

3、有可能是数列与概率交汇。8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。一、利用常用求和公式求和1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5、[例1]已知数列，（x≠0），数列的前n项和，求。解：当x=1时，当x≠1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝【巩固练习】1：已知数列的通项公式为，为的前n项和，（1）求；（2）求的前20项和。二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数

4、列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.[例2]求和：………（）解：当x=1时，当x≠1时，……………….①①式两边同乘以x得………②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴【巩固练习】2：求数列前n项的和.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例3]求证：证明：设…………………………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴【巩固练习】3：求的值四、分组法求和有一

5、类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中{an}、{bn}是等差数列、等比数列或常见的数列.[例4]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝【巩固练习】4：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)

6、（7）（8）=－（9）[例5]求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝【巩固练习】5：①在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例6]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.解：设Sn＝cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°∵（找特殊性质项）∴Sn＝（cos1°+cos179°）+（cos2°+cos178°）+（cos3°+c

7、os177°）+···+（cos89°+cos91°）+cos90°（合并求和）＝0【巩固练习】6：在各项均为正数的等比数列中，若的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例7]求之和.解：由于（找通项及特征）∴＝（分组求和）＝＝＝【巩固练习】7：已知数列{an}：的值.