质点运动学典型例题1[原创][全套].doc

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1、过山车驶过竖直圆轨道一列长为L的过山车由许多节车厢组成，以某一速度在水平轨道上行驶,然后进入半径为R的在竖直平面内的轨道。已知R比车厢的尺寸大很多，且。求：过山车在水平轨道上的速度应满足条件，才能使过山车安全的驶过竖直圆轨道。不计车与轨道间的摩擦。解：由于不考虑摩擦，则整车运动中机械能守恒。列车进入竖直面内的圆轨道时，有部分车厢的位置升高，整车的重力势能逐渐增加，则车的动能将随之减少，车速也随之减小。设列车单位长度的质量为l，当整个圆轨道上都分布有列车车厢时，这部分车厢较在水平轨道上时增加的重力势能为，此时列车的速度达到最小值，设其为V，则由机械能守恒定律，有（1）列

2、车的安全行驶应不脱离竖直圆轨道，在竖直圆轨道内，列车最容易脱离轨道的是处于轨道最高点处的车厢。为研究列车在最高点处的运动情况，需分析处于最高点处列车的受力情况，位于最高点处的车厢与车厢之间有张力作用。为求这一张力，不妨如图二假想将运行中的列车断开，则断开后右部的车厢受到左部车厢的拉力T。又设在此拉力T作用下，右部车厢发生了一极小的位移，则此过程中拉力T对右部车厢做功，以这一做功过程的前后两状态比较，相当于将整列车尾长的一段移至圆轨道的最高点处，其重力势能增加了，而列车的速度不变，则其动能不变，可见上述重力势能的增加是由于拉力T做功的结果，乃有即（2）只要车厢与轨道处于

3、接触状态，轨道对车厢就有反作用力。轨道最高点对车的反作用力最小，在临界状态下，这一反作用力为零。此时处于这一位置的车厢仅受重力和两侧车厢拉力作用，而这几个力的合力则提供车厢作圆周运动的向心力。现就这一节车厢的运动情况来进行研究，设有一节长为L（则其质量为）的车厢处于轨道最高点，如图三，令其所对的轨道圆心角为a，则它两端所受张力T分别与水平方向的夹角为，由于a很小，则此两张力的合力应为又由图中可见应有，故得到（3）此时车厢在作圆周运动，由圆周运动向心力的公式，应有，以代入上式，即得（4）联立（1）（2）（3）（4），可得即列车初速度应不小于，才能保证其安全地通过圆轨道。

4、求解三球系统的碰撞情况一例三个钢球A、B、C由轻质的长为L的硬质杆连接，竖立在水平面上，如图一所示，已知三球质量为距杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比L小很多，求：B球落地瞬间三球的速度大小。解：（1）求碰撞前三球的位置视ABC三者为一系统，则AC在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图二表示C球刚好要碰撞前三球的位置。以a表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为a，并令

5、BA杆上的M点与系统的质心的水平坐标相同，则应有故得，（1）由上述知M点的水平坐标应与原来三球所在位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为a，即M点与C球的水平距离为a，由此有即由上式，得，故有（2）（2）求碰墙前三球的速度由于碰墙前M点的坐标不变，则在AC沿水平面滑动的过程中的任意时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以分别表示图二中三球的速度，则有（3）又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的速度，则此两速度沿杆方向的投影应该相等，即再设沿BA方向

6、的分量为，同理可得注意到BA和BC两方向刚好互相垂直，故得的大小为以（2）（3）两式代入上式，得（4）由于系统由图一状态到图二状态的机械能守恒，有将（1）（2）（3）（4）代入上式，解得（5）（3）求C球刚碰墙后三球的速度如图三所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿BC方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即（6）由于BC杆只传递沿其杆身方向的力，故B球沿垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿

7、BA方向的分量满足（7）得，刚碰墙后B球速度的大小为（8）（4）求B求落地时三球的速度大小碰后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应保持不变，由上解得的三球速度，可得应该满足以（3）（5）（6）（7）代入上式，解得（9）当B球落地时，ABC三球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量.而B球刚要落地时，AC两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以表示此刻B球速度的大小。则由图三所示的状态到B球刚要落地时