正弦定理余弦定理.docx

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1、正弦定理、余弦定理教材分析：正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角关系的两个重要定理在初中，学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理，如大边对大角，直角三角形中的边角关系等。在学过任意角的三角比的基础上，介绍这个定理，符合学生的认知规律。本课时主要完成正弦定理的证明与简单运用，同时介绍余弦定理，为下一课时做铺垫。教学目标：（1）知识与技能：掌握正弦定理及其推导过程，会进行最简单的运用；知道余弦定理并记住其形式。（2）过程与方法：通过猜想发现并证明定理，向学生渗透基本的数学思想、方法，培养学生创新意识，提升学生思维能力。（3）情感、态度与价值观：让学生体会数学定理从特殊到一般的猜想、发

2、现、证明过程揭示数学思维过程，鼓励和培养学生进行数学实验，探索和发现问题，调动学生积极性，激发学生学习的兴趣。教学重点与难点：重点：发现正弦定理并进行证明；难点：正弦定理的证明。教学过程：一、引入实际问题：某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，B在A的正东方向10千米处。某日林场C处出现火情，在A处观测到火情发生在东偏北130°方向，而在B处观测到火情在西偏北30°方向，现在要确定火场C距A、B多远。这个问题可以转化为怎样的数学问题？将此问题转化为数学问题，就是：“在△ABC中，已知/CAB=130°:/CBA=30°AB=10千米，求AC与BC的长。”即在三角形中

3、，已知两个内角及夹边，如何求其它的边。二、观察特例，提出猜想我们在初中研究过直角三角形的边角关系在Rt△ABC中,已知/C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,贝U有-=sinA。c(1)在厶ABC中，若/Cm90°,a是否仍然等于sinA?c(2)若不成立，-可能等于什么？c(电脑展示，在△ABC中a,b长度不变，把BC绕着C点转动，AB长度随着/C变化而变化。)猜测a=即—acsinCsinAsinC三、实验探究利用几何画板画出一个三角形，度量出三边长度和三个角度。计算显示一组旦，旦，亠的值，并不断变化三角形的形状，让学生进一步观察sinAsinBsinC三个比值的变化情况。大

4、家发现在变化的过程中，很多三角形都满足—b—,sinAsinBsinC不能说对任意三角形都成立呢？四、不能，要证明定理证明(1)正弦定理借助直角坐标系进行证明。以厶ABC的顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系。设a,b,c分别为/A、/B、/C所对的边长，CD为AB边上的高，则点B、C的坐标分别为(c,0)、(bcosA,bsinA),CD=bsinA.SABC*AB11同理得SABCacsinB,SABCabsinC。这就是说，三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半,将等式2bcsinA冷acsinB=2absinC中的等号分开的式子都除以abc，si

5、nAsinBsinC得abc2即亠b—(1)sinAsinBsinC上式表明：在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等。此结论叫做正弦定理。(1)正弦定理简单应用例1、解决刚才林场失火问题。在△ABC中，已知/CAB=130°,ZCBA=30°AB=10千米，求AC与BC的长。(2)余弦定理例2、在厶ABC中，已知AC=b，AB=c，ZA，能否求出第三边，若能，如何求？学生讨论，得到结论：(1)由条件可知a边的长是唯一确定的，可以由边b,c及/A来确定;(2)不能利用正弦定理来解决；(3)过C作CD丄AB，垂足为D，将△ABC分割成两个直角三角形即可解决；(4)既然a边可有b,c及/

6、A来确定，那么对于这类问题是否也像前面正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？回到前面直角坐标系，得到公式a2=(bcosA-c)2b2sin2A22222=bcosA-2bccosAcbsinA=b2-2bccoAc2即a2二b2c2-2bccosA同理可得b2二a2•c2-2accosBc2二a2b2-2abcosC仔细观察三个公式，讨论归纳出余弦公式也就是说，三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍。此结论叫做余弦定理。同学们再次仔细观察余弦定理，每一个公式中都体现了三边一角的关系，所以我们还可以对余弦定理灵活变形为：b2+c2_a

7、2a2+c2_b2a2+b2_c2cosA，cosB，cosC=-2bc2ac2ab利用上式可以由三角形的三边求角。思考：若在△ABC中，C=90°,请写出余弦定理。五、小结六、作业