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《中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第29讲条件开放的探索性问题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学高考综合能力题选讲29数学高考综合能力题选讲29100080条件开放的探索性问题北京中国人民大学附中梁丽平数学高考综合能力题选讲29数学高考综合能力题选讲29题型预测探索性问题的明显特征是问题本身具有开放性及问题解决的过程中带有较强的探索性•对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件•另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答.范例选讲例1•在四棱锥PABCD中，四条侧棱长都相等，底面ABCD是梯形，AB//CD
2、,ABCD•为保证顶点P在底面ABCD所在平面上的射影O在梯形ABCD的外部，那么梯形ABCD需满足条件（填上你认为正确的一个条件即可）.BE讲解：条件给我们以启示.由于四条侧棱长都相等，所以，顶点P在底面ABCD上的射影O到梯形ABCD四个顶点的距离相等•即梯形ABCD有外接圆，且外接圆的圆心就是O.显然梯形ABCD必须为等腰梯形.再看结论.结论要求这个射影在梯形的外部，事实上,我们只需找出使这个结论成立的一个充分条件即可.显然，点B、C应该在过A的直径AE的同侧.不难发现，ACB应该为钝角三角形.故当ACB90（且AC>BC）时可满足条件.其余等价的或类
3、似的条件可以随读者想象.点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力.例2.老师给出一个函数yfx，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:甲：对于xR，都有fixfix;乙：在（,0］上函数递减；丙：在0,上函数递增；丁:f0不是函数的最小值.如果其中恰有三个人说得正确，请写出一个这样的函数：.讲解：首先看甲的话，所谓“对于xR，都有fixf1x”，其含义即为：函数fx的图像关于直线x1对称•数形结合，
4、不难发现：甲与丙的话相矛盾.（在对称轴的两侧，函数的单调性相反）因此，我们只需选择满足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）条件的函数即可.如果我们希望找到满足甲、乙、丁条件的函数，贝嚅要认识到：所谓函数在（,0］上单调递减，并不是说函数fx的单调递减区间只有（,0］.考虑到关于直线x1的对称性，我们不妨构造函数，使之在（,1］上单调递减，这样，既2不与乙的话矛盾，也满足丁所说的性质.如fXX1即可.如果希望找到满足乙、丙、丁条件的函数，则分段函数是必然的选择.如x1,x0fx.x,x0点评：本题考查学生对于函数性质的理解和掌握.思考这样的问题，常常需要从熟悉的函数（一
5、次、二次、反比例函数，指数、对数、三角函数等）入手，另外，分段函数往往是解决问题的关键.例3.对任意函数fx，xD，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据X。D，经数列发生器输出x,fx0;②若为D，则数列发生器结束工作；若为D，则将花反馈回输入端，再输出x2fx，并依此规律继续下去.现定义fx4x2x1（I）若输入x04965，则由数列发生器产生数列打印写出数列xn的所有项;（U）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列Xn，试求输入的初始数据Xo的值；（川）若输入Xo时，产生的无穷数列Xn满足：对任意正整数n,均有XnXni,求Xo的取值范围
6、.（W）是否存在Xo，当输入数据Xo时，该数列发生器产生一个各项均为负数的的无穷数列.讲解：（I）对于函数fx4X2，DX1,11，1,.若Xo65，代入计算可得：m19,X211，X3故产生的数列Xn只有三项.（U）要使数列发生器产生一个无穷的常数数列，实际上是对于任意的正整数n，都应该有Xn1Xn•又Xn1fXn4X12•所以，只需令fXX.Xn1解得：X1或X2.由于题目实际上只要求找到产生“无穷常数数列”的一个充分条件，所以，令Xo1（或2）即可.此时必有Xn1Xn=1（或2）.事实上，相对于本题来讲，Xo1（或2）是产生“无穷常数数列”的充要条4x
7、2件（这是因为函数fx2是对应）.如果把函数换成X1fX-区上，请读者思考：有多少个满足条件的初值Xo?2x（m）要使得对任意正整数n，均有XnXn1，我们不妨先探索上述结论成立的一个必要条件.即X1X4为2x11事实上，不等式X鉉上的解为X1或1X2.（*）X1所以，x11或1X,2.下面我们来研究这个条件是否充分.当Xi1时，X24论2x114,所以，虽然有X1X2,但此时X34X2，显然不符合题意.当1为2时，由上可知:X1X2，且不难求得1X22，以此类推，可知,必有：对任意正整数n,均有XnXn1成立.综上所述，1X12.由X1fXo及（*），不难
8、得知：X0的取值范围为1,2（W）要求使得xn0任取
