中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第22讲参数范围型综合问题.docx

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1、数学高考综合能力题选讲22参数范围型综合问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等。范例选讲例1•对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围。讲解：将p视为主元，设fppx1x24x3，贝U当0p4时，fp>0恒成立。等价于：f00o即X4x30of40x210解得x3或x1。点评：换个角度看问题，换个方面去解释，换个方向去思考。在数学学习过程中，要注意多角度、多方向、多层次地去思

2、考问题，这样不但对问题的认识更全面、更深刻，还可以发展自己的思维能力。例2•已知函数fx2x电o2x(I)将yfx的图像向右平移两个单位，得到函数ygx，求函数ygx的解析式；(U)函数yhx与函数ygx的图像关于直线y1对称，求函数yhx的解析式;1a求实数a的取值范围。(m)设Fxxhx，已知Fx的最小值是m，且m2、T，讲解：（I）gxXx22x2县乙竽；2x242x(U)设点Px,hx是函数yhx上任一点,点Px,hx关于y1的对称点是P'x,2hx由于函数yhx与函数ygx的图像关于直线y1对称，所以，点P'在函数yg的图像上，也即:所以,4a歹；(m)4a要求m的取值范围，

3、可以通过构造关于是直接法，即先求出m的不等式来获得解答，方法之一Fx的最小值，再令其大于2,7即可。解法一。为求Fx的最小值，注意到Fx的表达式形同mtf，所以，可以考虑从m,n即丄a11和4a1的正负入手。4丄1(1)当a44a10时，由21，歹的值域均为0,，可得F这与Fxm27矛盾;11⑵当a44a10，即00Fx是R上的增函数，此时Fx无最小值，与题设矛盾;11⑶当a44a14时，Fx是R上的减函数，此时Fx也无最小值，与题设矛盾;所以，由(1)(2)(3)可得:11c01a40，即-a4时,44a1042x4a112x4a4a12。等号当且仅当4a112x，即24a4a1时成

4、立。_1由m2,7及—4可得:a4a11解之得：-a22从另一个角度考虑,的最小值是,7”，也就是说Fx2.7恒成立。于是,我们可以得到下面的解法:解法二。由Fx2x4a、.7。令2xt，则命题可转化为:0时,1t2、、7t4a10恒成立。考虑关于t的二次函数t1t24.7t4a要使t0时，t0恒成立。首先必须要求0,此时由于函数1t2，7t4a1的对称轴t45-ao，所以，需且只需2404a1041解之得：-a2。2此时，欝皿10，故F（x）订t叮2在t沖(4a1)取4a9k249k24得最小值m2,4a4a12满足条件。4a常常要用到一元二次方程的判别点评：构造关于所求量的不等式，

5、通过解不等式来获得问题的解是有关取值范围问题常用的方法。在构造不等式的过程中，式。2y1顺次交于A、B两点，求42x例3•设直线I过点P（0，3）且和椭圆—AP——的取值范围.PBXa。讲解：首先，不难得到：等Xa。要求pbAPAP的取值范围，不外乎两条路:9k249k24其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。由此出发,可得到下面的两种解法APx解法1：在ab=xf中,有两个变量Xa，Xb，但这两个变量的范围很难确定,故需要利用第3个变量。比较自然的想法是“直线AB的斜率k”o于是，问题就转化

6、为“如何将Xa,Xb转化为关于k的表达式”。只需将直线方程代入椭圆方程，消去根公式即可。y得出关于x的一元二次方程，利用求当直线I垂直于x轴时，可求得H1；5；当l与x轴不垂直时,Axi，yi，B（X2，y2），直线I的方程为：ykx3，代入椭圆方程，消去y得229k4x54kx450解之得X1,227k6.9k259k24由椭圆关于y轴对称，且点P在y轴上，所以只需考虑k0的情形.9k249k249k24当k0时，x-27k-69k25，X227k69k25，9k24综上1AP-。令鱼X2，则,324k245k220所以APX1=9k2..9k25.=118k彳18=1PBX29k2

7、.9k259k29k2592952/k由(54k)21809k240J解得k259，所以1118159入尊5PB5解法2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等关系的根源。由判别式非负可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于俎互不是关于X「X2的对称式.问题PBx2找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于