资源描述：
《中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第18讲直线与二次曲线.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、直线与二次曲线100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重•主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题•解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.范例选讲例1.已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x2y210x200相1切•过点P4,0作斜率为1的直线I，使得I和G交于代B两点，和y轴交于点42C,并且点P在线段AB上，又满足
2、PA
3、PBIPC•(I)求双曲线G的渐近线的方程；(U)求双曲线G的方程；(E)椭圆S的中心在原点，它的短
4、轴是G的实轴.如果S中垂直于I的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程.讲解：(I)设双曲线G的渐近线的方程为：ykx，则由渐近线与圆22xy10x200相切可得：5k=亦•1Jk21所以，k-•2双曲线G的渐近线的方程为:y1-x•2(U)由(I)可设双曲线G的方程为：x24y2m•把直线I的方程y贝卩XaXb8,31-x4代入双曲线方程，整理得3x28x164m0•4XaXb164m/,、2…XpXaXbXpXPXc,即：xb44xa16,整理得：4xaxbxaxb320将（*）代入上式可解得:m28.所以，双曲线的方程为X22y1.287PAPBPC,P,A
5、,B,C共线且P在线段AB上,22（川）由题可设椭圆S的方程为：—爲1a2'、7.下面我们来求出S28a2中垂直于I的平行弦中点的轨迹.设弦的两个端点分别为M为畀,NX2,y2,MN的中点为P“y。，贝U两式作差得:X1X2X-Ix2282Xi282yi~~2a2X2282y2y1y2yy?2a由于地y24,X1X22xo,y1y2y°x(x2所以，盏4yo~2~a所以，垂直于I的平行弦中点的轨迹为直线x284y0截在椭圆S内的部分.2a112又由题，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以,22以,a256，椭圆S的方程为：28561.点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐
6、标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）.例2•设抛物线过定点A1,0，且以直线x1为准线.(I)求抛物线顶点的轨迹C的方程；(H)若直线I与轨迹C交于不同的两点M,N，且线段MN恰被直线x-2平分，设弦MN的垂直平分线的方程为ykxm，试求m的取值范围.讲解：(I)设抛物线的顶点为Gx,y，则其焦点为F2x1,y•由抛物线的定义可知：AF点A到直线x1的距离=2.所以，、.,4x2y22.2所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为：x2壬1x14又线段MN恰
7、被直线12平分，所以,xMXn2bk14k2(U)因为m是弦MN的垂直平分线与y轴交点的纵坐标，由MN所唯一确定.所以，要求m的取值范围，还应该从直线I与轨迹C相交入手.代入椭圆方程得：24k122bxU22xb40k2k显然，直线I与坐标轴不可能平行，所以，设直线I的方程为I:y丄xb，kI与轨迹C交两点M,N由于的不同所以，于所以，bk巡24k2k2b210k0.(*)122代入(*)可解得:F面，只需找到m与k的关系，即可求出m的取值范围.由于ykxm为2在l:y—xb中，令xk11,14k1，可解得：yob2k.22k2k2k3k21将点P—,2k代入ykxm，可得：m2所以,从以
8、上解题过程来看，求m的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m与其它参数之间的关系，二是构造一个有关参量的不等式.从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法：1解法二.设弦MN的中点为P1,yo，则由点M,N为椭圆上的点，可知:4Xm24Xn22yM2yN44两式相减得：4XMXNXMXNYmYnYmYn0又由于XMXN211,yMyN2yo,YmYn-1，代入上式2XmXnk得:k02也即：3yo-・3.22所以,点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时(设
9、而不求)，必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.从构造不等式的角度来说，“将直线I的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN的中点P1,y0在椭圆内”是等价的.2咼考真题1.(1991年全国高考)双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为3的直线交双曲线于P、Q两点.若OPOQ，且PQ4，求双曲线的方程.2.(1994年全国高考)已知直线I过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正
